安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
六，（10 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：取对数化简
令 $y = \left[ \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e} \right]^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln y = \frac{1}{x} \ln\left( \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e} \right) = \frac{1}{x} \left( \frac{1}{x} \ln(1+x) - 1 \right) = \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$。
公式：$\ln(a^b) = b\ln a$
提示：注意对数运算性质，不要遗漏分母 $x$。
步骤 2/7
目标：转化为极限问题
原极限 $\lim_{x \to 0} y = e^{\lim_{x \to 0} \ln y}$，因此只需计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}$。
公式：$\lim f(x)^{g(x)} = e^{\lim g(x) \ln f(x)}$
提示：注意指数运算的连续性，极限与指数可交换。
步骤 3/7
目标：判断极限类型
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x - \frac{x^2}{2}$，所以分子 $\ln(1+x)-x \sim -\frac{x^2}{2}$，分母 $x^2 \to 0$，为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则。
公式：等价无穷小：$\ln(1+x) \sim x - \frac{x^2}{2}$
提示：也可直接使用洛必达法则，但需验证条件。
步骤 4/7
目标：应用洛必达法则（第一次）
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{2x}$。
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$（$\frac{0}{0}$ 型）
提示：注意分子求导：$\frac{d}{dx}[\ln(1+x)-x] = \frac{1}{1+x} - 1$。
步骤 5/7
目标：化简并再次应用洛必达法则
化简分子：$\frac{1}{1+x} - 1 = \frac{1-(1+x)}{1+x} = \frac{-x}{1+x}$，所以极限变为 $\lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1+x)}$。
公式：代数化简
提示：约去 $x$ 时注意 $x \neq 0$，但极限过程可约。
步骤 6/7
目标：计算极限值
$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1+x)} = \frac{-1}{2(1+0)} = -\frac{1}{2}$。
公式：极限的代入法
提示：直接代入 $x=0$ 即可。
步骤 7/7
目标：得出原极限
因此 $\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{1}{2}$，所以 $\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。
公式：$e^{\ln y} = y$
提示：注意指数函数是连续的，极限与指数可交换。
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