安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
十一，（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x\right)^{p}$ 的绝对收敛性和条件收敛性。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义积分并求渐近表达式
记 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$，则 $I_n = \frac{\sqrt{\pi} \, \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2 \, \Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}$。由递推公式 $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$，且 $I_0 = \frac{\pi}{2}$，$I_1 = 1$。利用Wallis公式或Stirling公式可得 $I_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$（当 $n \to \infty$）。因此 $I_n^p \sim \left(\frac{\pi}{2n}\right)^{p/2}$。
公式：I_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}
提示：注意渐近等价中常数因子不影响收敛性判断，但需确保$I_n$单调递减趋于0。
步骤 2/5
目标：判断绝对收敛性
考虑正项级数 $\sum_{n=1}^\infty I_n^p$。由于 $I_n^p \sim \left(\frac{\pi}{2}\right)^{p/2} n^{-p/2}$，由 $p$-级数判别法知，当 $p/2 > 1$ 即 $p > 2$ 时，$\sum I_n^p$ 收敛，故原级数绝对收敛；当 $p \leq 2$ 时，$\sum I_n^p$ 发散（若 $p<0$，$I_n^p \to \infty$；若 $0 \leq p \leq 2$，$I_n^p$ 衰减不够快），故非绝对收敛。
公式：\sum n^{-p/2} \text{ 收敛当且仅当 } p/2 > 1
提示：注意$p$为负数时，$I_n^p$趋于无穷，级数显然发散。
步骤 3/5
目标：判断条件收敛性（p>0时）
当 $p > 0$ 时，由于 $I_n$ 单调递减趋于0，故 $I_n^p$ 也单调递减趋于0。由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} I_n^p$ 收敛。结合绝对收敛性结论，当 $0 < p \leq 2$ 时，级数条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum (-1)^{n-1}a_n$ 收敛
提示：需验证$I_n$确实单调递减：由递推$I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$可证。
步骤 4/5
目标：判断p≤0时的发散性
当 $p \leq 0$ 时，$I_n^p$ 不趋于0（若 $p<0$，$I_n^p \to +\infty$；若 $p=0$，$I_n^0=1$），因此通项不趋于0，级数发散。
提示：注意$p=0$时级数为$\sum (-1)^{n-1}$，通项不趋于0，发散。
步骤 5/5
目标：总结收敛性结论
综上所述：
- 当 $p > 2$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $0 < p \leq 2$ 时，级数条件收敛；
- 当 $p \leq 0$ 时，级数发散。
提示：注意边界$p=2$属于条件收敛，因为$I_n^p \sim \frac{\pi}{2n}$，$\sum \frac{1}{n}$发散，但交错级数收敛。
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