安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
十二，（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S-\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$ ，其中：$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
的表面，$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle |x|+|y|+|z|=1$ 的表面
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算球面上的积分
在球面 $S: x^2+y^2+z^2=1$ 上，被积函数 $x^2+y^2+z^2=1$，所以积分等于球面面积：
$$\iint_S (x^2+y^2+z^2) dS = \iint_S 1 \, dS = 4\pi \cdot 1^2 = 4\pi.$$
公式：球面面积公式 $A=4\pi R^2$
提示：注意被积函数在曲面上为常数1，直接利用面积公式。
步骤 2/8
目标：利用对称性简化八面体积分
八面体 $\Sigma: |x|+|y|+|z|=1$ 由8个全等的三角形面组成，每个面位于一个卦限。由对称性，只需计算第一卦限面 $\Sigma_1: x+y+z=1, x,y,z\geq 0$ 上的积分，再乘以8。
提示：注意对称性：被积函数和曲面均关于坐标平面对称。
步骤 3/8
目标：计算第一卦限面的面积元
在 $\Sigma_1$ 上，$z=1-x-y$，其中 $x,y\geq 0, x+y\leq 1$。面积元：
$$dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2}\,dxdy = \sqrt{3}\,dxdy.$$
公式：曲面面积元公式 $dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$
提示：正确计算偏导数：$z_x=-1$, $z_y=-1$。
步骤 4/8
目标：写出第一卦限面上的二重积分
被积函数 $x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+(1-x-y)^2$，积分区域 $D: x\geq 0, y\geq 0, x+y\leq 1$。因此：
$$\iint_{\Sigma_1} (x^2+y^2+z^2) dS = \iint_D [x^2+y^2+(1-x-y)^2] \sqrt{3}\,dxdy.$$
提示：注意区域D是直角三角形，面积1/2。
步骤 5/8
目标：展开并化简被积函数
展开 $(1-x-y)^2 = 1 + x^2 + y^2 + 2xy - 2x - 2y$，所以：
$$x^2+y^2+(1-x-y)^2 = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1.$$
提示：展开时注意符号，避免漏项。
步骤 6/8
目标：计算二重积分中的各个部分
利用对称性，$\iint_D x^2 dxdy = \iint_D y^2 dxdy$，$\iint_D x dxdy = \iint_D y dxdy$。分别计算：
- 区域面积 $A(D)=\frac12$。
- $\iint_D x dxdy = \int_0^1 x(1-x)dx = \frac16$。
- $\iint_D x^2 dxdy = \int_0^1 x^2(1-x)dx = \frac1{12}$。
- $\iint_D xy dxdy = \int_0^1 x \cdot \frac{(1-x)^2}{2}dx = \frac1{24}$。
公式：二重积分化为累次积分
提示：注意积分限：$x$从0到1，$y$从0到$1-x$。
步骤 7/8
目标：合并积分结果
将各积分代入：
$$\begin{aligned} &\iint_D (2x^2+2y^2+2xy-2x-2y+1) dxdy \\ &= 2\cdot\frac1{12}+2\cdot\frac1{12}+2\cdot\frac1{24}-2\cdot\frac16-2\cdot\frac16+1\cdot\frac12 \\ &= \frac16+\frac16+\frac1{12}-\frac13-\frac13+\frac12 = \frac14. \end{aligned}$$
提示：通分计算时小心分数加减。
步骤 8/8
目标：得到八面体上的积分并求差值
第一卦限面：$\iint_{\Sigma_1} = \sqrt{3}\cdot\frac14 = \frac{\sqrt{3}}{4}$。整个八面体：$\iint_\Sigma = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$。
所求差值：$4\pi - 2\sqrt{3}$。
提示：不要忘记乘以8，以及最后相减。
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