安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
十，（15 分）确定 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} d x$ 的符号．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析被积函数的奇点和符号
被积函数 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处有可去奇点，因为 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$，所以积分是正常的广义积分。在区间 $(0, \pi]$ 上，$\sin x > 0$，故 $\frac{\sin x}{x} > 0$；在 $[\pi, 2\pi]$ 上，$\sin x < 0$，故 $\frac{\sin x}{x} < 0$。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意 $x=0$ 不是瑕点，因为极限存在。
步骤 2/7
目标：将积分分解为正负两部分
将积分分解为两个区间上的积分：
$$ I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \, dx + \int_{\pi}^{2\pi} \frac{\sin x}{x} \, dx. $$
提示：注意积分区间端点处被积函数连续。
步骤 3/7
目标：对第二个积分进行变量代换
令 $t = x - \pi$，则 $x = t + \pi$，$dx = dt$，当 $x = \pi$ 时 $t=0$，当 $x=2\pi$ 时 $t=\pi$。于是
$$ \int_{\pi}^{2\pi} \frac{\sin x}{x} \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(t+\pi)}{t+\pi} \, dt = \int_{0}^{\pi} \frac{-\sin t}{t+\pi} \, dt. $$
公式：$\sin(t+\pi) = -\sin t$
提示：注意三角函数的诱导公式，符号不要弄错。
步骤 4/7
目标：合并两个积分
将两个积分合并：
$$ I = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t} \, dt + \int_{0}^{\pi} \frac{-\sin t}{t+\pi} \, dt = \int_{0}^{\pi} \sin t \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+\pi} \right) dt. $$
提示：注意积分变量统一为 $t$，被积函数合并。
步骤 5/7
目标：简化被积函数
计算括号内的差：
$$ \frac{1}{t} - \frac{1}{t+\pi} = \frac{t+\pi - t}{t(t+\pi)} = \frac{\pi}{t(t+\pi)}. $$
因此
$$ I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin t}{t(t+\pi)} \, dt. $$
公式：$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$
提示：通分时注意分子分母不要算错。
步骤 6/7
目标：判断被积函数的符号
在区间 $(0, \pi)$ 上，$\sin t > 0$，$t > 0$，$t+\pi > 0$，因此 $\frac{\pi \sin t}{t(t+\pi)} > 0$。在端点 $t=0$ 处，被积函数有可去奇点，极限为 $\frac{\pi \cdot 1}{0 \cdot \pi} = \infty$？实际上 $\lim_{t\to 0} \frac{\pi \sin t}{t(t+\pi)} = \frac{\pi \cdot 1}{0 \cdot \pi}$ 是未定式，但正确极限为 $\lim_{t\to 0} \frac{\pi \sin t}{t(t+\pi)} = \frac{\pi \cdot 1}{1 \cdot \pi} = 1$，因为 $\frac{\sin t}{t} \to 1$。所以被积函数在 $(0, \pi)$ 上恒正。
公式：$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1$
提示：注意 $t=0$ 不是瑕点，极限存在，被积函数在 $[0,\pi]$ 上可积且非负。
步骤 7/7
目标：得出积分符号结论
由于被积函数在 $(0, \pi)$ 上恒正，且积分区间长度为正，因此积分 $I > 0$。即
$$ \int_{0}^{2\pi} \frac{\sin x}{x} \, dx > 0. $$
提示：严格来说，需要说明被积函数不恒为零，且非负，所以积分大于零。
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