安徽师范大学 2018年数学分析第0题
📝 题目
四，（10 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=33 a_{n+2}=2 a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立特征方程
给定递推关系 $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$，对应的特征方程为 $r^2=2r+1$，即 $r^2-2r-1=0$。
公式：r^2 - 2r - 1 = 0
提示：注意特征方程的形式：将递推式中的 $a_{n+2}$ 替换为 $r^2$，$a_{n+1}$ 替换为 $r$，$a_n$ 替换为 $1$。
步骤 2/7
目标：求解特征根
解特征方程 $r^2-2r-1=0$，得 $r = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$。
公式：r = 1 \pm \sqrt{2}
提示：注意判别式 $b^2-4ac = 4+4=8$，开方得 $2\sqrt{2}$。
步骤 3/7
目标：写出通解形式
由于特征根为两个不等实根，通解为 $a_n = A(1+\sqrt{2})^{n-1} + B(1-\sqrt{2})^{n-1}$。
公式：a_n = A(1+\sqrt{2})^{n-1} + B(1-\sqrt{2})^{n-1}
提示：注意指数为 $n-1$ 而不是 $n$，因为初始条件从 $n=1$ 开始。
步骤 4/7
目标：代入初始条件列方程
由 $a_1=1$ 得 $A+B=1$；由 $a_2=33$ 得 $A(1+\sqrt{2}) + B(1-\sqrt{2}) = 33$。
公式：A+B=1, \quad A(1+\sqrt{2})+B(1-\sqrt{2})=33
提示：代入时注意 $n=1$ 时指数为0，$n=2$ 时指数为1。
步骤 5/7
目标：解方程组求系数
由 $A+B=1$ 得 $B=1-A$，代入第二式：$A(1+\sqrt{2})+(1-A)(1-\sqrt{2})=33$。展开得 $A+A\sqrt{2}+1-\sqrt{2}-A+A\sqrt{2}=33$，即 $1-\sqrt{2}+2A\sqrt{2}=33$，所以 $2A\sqrt{2}=32+\sqrt{2}$，$A=\frac{32+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=8\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，$B=1-A=\frac{1}{2}-8\sqrt{2}$。
公式：A = 8\sqrt{2}+\frac{1}{2}, \quad B = \frac{1}{2}-8\sqrt{2}
提示：化简时注意有理化：$\frac{16}{\sqrt{2}}=8\sqrt{2}$。
步骤 6/7
目标：分析极限行为
由于 $|1-\sqrt{2}| \approx 0.414 < 1$，当 $n \to \infty$ 时，$(1-\sqrt{2})^{n-1} \to 0$；而 $1+\sqrt{2} \approx 2.414 > 1$，$(1+\sqrt{2})^{n-1} \to \infty$。因此 $a_n$ 发散到无穷大。
公式：\lim_{n\to\infty} (1-\sqrt{2})^{n-1}=0, \quad \lim_{n\to\infty} (1+\sqrt{2})^{n-1}=\infty
提示：注意判断公比的绝对值是否小于1，以确定极限是否存在。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此极限不存在，即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \infty$。
提示：极限为无穷大也是一种极限不存在的情况，但通常写作 $\infty$。
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