安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
一，（15 分）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+1}=\sqrt[3]{6+a_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并分析性质
设 $f(x)=\sqrt[3]{6+x}$，则 $a_{n+1}=f(a_n)$。函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $f'(x)=\frac{1}{3}(6+x)^{-2/3}>0$，故 $f$ 严格单调递增。
公式：f(x)=\sqrt[3]{6+x}, \quad f'(x)=\frac{1}{3}(6+x)^{-2/3}
提示：注意定义域为 $x \geq -6$，但数列递推中 $a_n$ 可能为负，但 $6+a_n>0$ 确保定义。
步骤 2/6
目标：求不动点（可能的极限）
令 $x=\sqrt[3]{6+x}$，即 $x^3=6+x$，整理得 $x^3-x-6=0$。因式分解：$(x-2)(x^2+2x+3)=0$，唯一实根 $x=2$。故若极限存在，必为 $2$。
公式：x^3-x-6=0 \Rightarrow (x-2)(x^2+2x+3)=0
提示：注意 $x^2+2x+3=0$ 无实根，所以唯一不动点是 $2$。
步骤 3/6
目标：讨论初始值等于2的情况
若 $a_1=2$，则 $a_2=\sqrt[3]{6+2}=2$，由归纳法知 $a_n=2$ 恒成立，极限为 $2$。
提示：平凡情况，直接得出。
步骤 4/6
目标：证明当 $a_1<2$ 时数列单调递增且有上界
考虑函数 $g(x)=f(x)-x$，则 $g'(x)=f'(x)-1$。由于 $f'(x)=\frac{1}{3}(6+x)^{-2/3} \leq \frac{1}{3}\cdot 6^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{36}}<1$，故 $g'(x)<0$，$g$ 严格递减。又 $g(2)=0$，所以当 $x<2$ 时 $g(x)>0$，即 $f(x)>x$。因此 $a_2=f(a_1)>a_1$。假设 $a_k<2$，则 $a_{k+1}=f(a_k)a_k$。由数学归纳法，$\{a_n\}$ 递增且有上界 $2$，故收敛。
公式：g(x)=f(x)-x, \quad g'(x)=f'(x)-1<0
提示：注意 $f'(x)<1$ 的证明：$f'(x)=\frac{1}{3}(6+x)^{-2/3}$，当 $x>-6$ 时，$(6+x)^{-2/3} \leq 6^{-2/3}$，所以 $f'(x) \leq \frac{1}{3\sqrt[3]{36}}<1$。
步骤 5/6
目标：证明当 $a_1>2$ 时数列单调递减且有下界
类似地，当 $x>2$ 时，$g(x)<0$，即 $f(x)2$，则 $a_{k+1}=f(a_k)>f(2)=2$，且 $a_{k+1}
提示：与情况2对称，注意符号方向。
步骤 6/6
目标：求极限
由单调有界定理，数列收敛。设极限为 $L$，则 $L=\sqrt[3]{6+L}$，解得 $L=2$。因此 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 2$。
公式：L=\sqrt[3]{6+L} \Rightarrow L^3-L-6=0 \Rightarrow L=2
提示：注意极限的唯一性，舍去复数根。
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