安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七，（15 分）$D$ 为 $\displaystyle y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \leq x<+\infty)$ 下方，$x$ 轴上方围成的无界区域。
（1）求 $D$ 绕着 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积 $\displaystyle V(a)$
（2）$a$ 为何值时，$\displaystyle V(a)$ 最小，求最小值
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立旋转体体积积分表达式
曲线为 $y = \sqrt{x} a^{-\frac{x}{2a}}$，其中 $a>1$，$x\geq 0$。区域 $D$ 由曲线下方和 $x$ 轴上方围成，绕 $x$ 轴旋转一周的体积公式为 $V = \pi \int_{0}^{\infty} y^2 \, dx$。代入 $y$ 得 $V(a) = \pi \int_{0}^{\infty} \left( \sqrt{x} a^{-\frac{x}{2a}} \right)^2 dx = \pi \int_{0}^{\infty} x a^{-\frac{x}{a}} dx$。
公式：V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx
提示：注意积分限为 $0$ 到 $\infty$，因为区域无界。
步骤 2/7
目标：将指数函数转换为自然指数形式
由于 $a>1$，$a^{-\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a} \ln a}$。令 $k = \frac{\ln a}{a} > 0$，则 $V(a) = \pi \int_{0}^{\infty} x e^{-k x} \, dx$。
公式：a^{-\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a} \ln a}
提示：注意 $\ln a > 0$ 因为 $a>1$，确保 $k>0$。
步骤 3/7
目标：计算积分 $\int_{0}^{\infty} x e^{-kx} \, dx$
使用公式 $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-kx} \, dx = \frac{n!}{k^{n+1}}$，其中 $n=1$，得 $\int_{0}^{\infty} x e^{-kx} \, dx = \frac{1}{k^2}$。也可用分部积分：$\int x e^{-kx} \, dx = -\frac{x}{k} e^{-kx} - \frac{1}{k^2} e^{-kx}$，代入上下限得 $\frac{1}{k^2}$。
公式：\int_{0}^{\infty} x e^{-kx} \, dx = \frac{1}{k^2}
提示：注意无穷限积分收敛的条件是 $k>0$，这里满足。
步骤 4/7
目标：得到 $V(a)$ 表达式
将 $k = \frac{\ln a}{a}$ 代入 $V(a) = \pi \cdot \frac{1}{k^2} = \pi \left( \frac{a}{\ln a} \right)^2$。因此 $V(a) = \pi \left( \frac{a}{\ln a} \right)^2$。
公式：V(a) = \pi \left( \frac{a}{\ln a} \right)^2
提示：注意 $a>1$，$\ln a \neq 0$，表达式有意义。
步骤 5/7
目标：求 $V(a)$ 的最小值：转化为求 $f(a)=\frac{a}{\ln a}$ 的最小值
由于 $V(a) = \pi [f(a)]^2$ 且 $\pi>0$，$V(a)$ 最小等价于 $f(a)$ 最小（$f(a)>0$）。对 $f(a)$ 求导：$f'(a) = \frac{\ln a - 1}{(\ln a)^2}$。
公式：f'(a) = \frac{\ln a - 1}{(\ln a)^2}
提示：注意 $f(a)$ 的定义域为 $a>1$，$\ln a>0$。
步骤 6/7
目标：求驻点并判断极值
令 $f'(a)=0$，得 $\ln a - 1 = 0$，即 $a=e$。当 $1e$ 时，$f'(a)>0$，$f(a)$ 递增。因此 $a=e$ 是极小值点，也是最小值点。
提示：注意 $a>1$，$e$ 在定义域内。
步骤 7/7
目标：计算最小值
代入 $a=e$ 得 $V(e) = \pi \left( \frac{e}{\ln e} \right)^2 = \pi e^2$。因此当 $a=e$ 时，$V(a)$ 最小，最小值为 $\pi e^2$。
公式：V(e) = \pi e^2
提示：注意 $\ln e = 1$。
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