安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}, z=f\left(e^{x} y^{2}\right)$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 的表达式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求偏导数
已知 $z = f(e^x y^2)$，对 $x$ 求偏导，利用链式法则：$\frac{\partial z}{\partial x} = f'(e^x y^2) \cdot e^x y^2$。
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = f'(e^x y^2) \cdot e^x y^2$
提示：注意对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数，$e^x y^2$ 对 $x$ 的导数为 $e^x y^2$。
步骤 2/8
目标：代入已知条件
已知 $\frac{\partial z}{\partial x} = z^2$，且 $z = f(e^x y^2)$，所以 $f'(e^x y^2) \cdot e^x y^2 = f^2(e^x y^2)$。
公式：$f'(e^x y^2) \cdot e^x y^2 = f^2(e^x y^2)$
提示：注意 $z^2$ 是 $f(e^x y^2)$ 的平方，不要漏掉平方。
步骤 3/8
目标：变量代换
令 $u = e^x y^2 > 0$，则原方程化为 $f'(u) \cdot u = f^2(u)$，即 $\frac{df}{du} = \frac{f^2}{u}$。
公式：$\frac{df}{du} = \frac{f^2}{u}$
提示：代换后注意 $u>0$，因为 $e^x>0$ 且 $y^2 \geq 0$，但 $y$ 可能为0，但题目未限制，一般假设 $y \neq 0$ 以保证 $u>0$。
步骤 4/8
目标：分离变量
将方程 $\frac{df}{du} = \frac{f^2}{u}$ 分离变量得 $\frac{df}{f^2} = \frac{du}{u}$。
公式：$\frac{df}{f^2} = \frac{du}{u}$
提示：分离变量时注意 $f \neq 0$，由 $f(1)=-1/2$ 可知 $f$ 不为0。
步骤 5/8
目标：积分求解
两边积分：$\int \frac{df}{f^2} = \int \frac{du}{u}$，得 $-\frac{1}{f} = \ln u + C$，其中 $C$ 为积分常数。
公式：$-\frac{1}{f} = \ln u + C$
提示：积分时注意 $\int \frac{df}{f^2} = -\frac{1}{f}$，不要忘记负号。
步骤 6/8
目标：解出函数表达式
由 $-\frac{1}{f} = \ln u + C$ 得 $f(u) = -\frac{1}{\ln u + C}$。
公式：$f(u) = -\frac{1}{\ln u + C}$
提示：注意 $f$ 是 $u$ 的函数，最终要换回 $x$。
步骤 7/8
目标：利用初始条件确定常数
已知 $f(1) = -\frac{1}{2}$，代入 $u=1$：$-\frac{1}{\ln 1 + C} = -\frac{1}{2}$，即 $-\frac{1}{C} = -\frac{1}{2}$，解得 $C=2$。
公式：$-\frac{1}{C} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C=2$
提示：注意 $\ln 1 = 0$，代入时小心计算。
步骤 8/8
目标：写出最终表达式
将 $C=2$ 代入，并换回自变量 $x$，得 $f(x) = -\frac{1}{\ln x + 2}$，其中 $x>0$。
公式：$f(x) = -\frac{1}{\ln x + 2}, \quad x>0$
提示：注意定义域 $x>0$，因为 $\ln x$ 要求 $x>0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。