安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九，（15 分）计算 $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, \Omega$ 为 $\displaystyle y o z$ 平面上曲线 $\displaystyle y^{2}=2 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面与 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解区域 Ω 的几何形状并建立方程
曲线 $y^2 = 2z$ 在 $yoz$ 平面上，绕 $z$ 轴旋转一周，$y$ 变为径向距离 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$，得到旋转曲面方程 $r^2 = 2z$，即 $z = \frac{r^2}{2}$。该曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 围成的区域为旋转抛物面内部，即 $\Omega = \left\{ (x,y,z) \mid 2 \le z \le 8,\ 0 \le r \le \sqrt{2z} \right\}$，其中 $r^2 = x^2 + y^2$。
公式：r^2 = 2z, \quad z = \frac{r^2}{2}
提示：注意曲线绕 z 轴旋转时，y 坐标变为径向距离 r，不要混淆坐标变量。
步骤 2/5
目标：选择坐标系并写出三重积分表达式
由于被积函数 $x^2 + y^2 = r^2$ 且区域旋转对称，采用柱坐标：$x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，体积元 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$。积分化为：
$$I = \iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\, dV = \int_{z=2}^{8} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2z}} r^2 \cdot r\, dr\, d\theta\, dz = \int_{2}^{8} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 \, dr\, d\theta\, dz$$
公式：dV = r\, dr\, d\theta\, dz, \quad I = \int_{2}^{8} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 \, dr\, d\theta\, dz
提示：柱坐标中体积元多一个因子 r，不要遗漏；积分限需根据区域边界正确确定。
步骤 3/5
目标：对径向变量 r 积分
先对 $r$ 积分：
$$\int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3\, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{\sqrt{2z}} = \frac{(\sqrt{2z})^4}{4} = \frac{(2z)^2}{4} = \frac{4z^2}{4} = z^2$$
公式：\int r^3\, dr = \frac{r^4}{4}, \quad \left. \frac{r^4}{4} \right|_{0}^{\sqrt{2z}} = z^2
提示：计算 (√(2z))^4 时注意指数运算：先平方得 2z，再平方得 4z^2。
步骤 4/5
目标：对角度 θ 积分
对 $\theta$ 积分，$z^2$ 与 $\theta$ 无关：
$$\int_{0}^{2\pi} z^2\, d\theta = z^2 \cdot 2\pi = 2\pi z^2$$
公式：\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi
提示：角度积分结果直接乘以 2π，注意被积函数中不含 θ。
步骤 5/5
目标：对竖直变量 z 积分并计算最终结果
最后对 $z$ 积分：
$$I = \int_{2}^{8} 2\pi z^2\, dz = 2\pi \int_{2}^{8} z^2\, dz = 2\pi \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{2}^{8} = 2\pi \cdot \frac{8^3 - 2^3}{3} = 2\pi \cdot \frac{512 - 8}{3} = 2\pi \cdot \frac{504}{3} = 2\pi \cdot 168 = 336\pi$$
公式：\int z^2\, dz = \frac{z^3}{3}, \quad 8^3=512, \ 2^3=8, \ 512-8=504, \ 504/3=168
提示：计算 8^3 和 2^3 时注意数值准确，最后化简分数 504/3 得 168。
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