安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=0, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少有两个不同的零点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数 F(x)
令 $F(x) = \int_{-\pi/2}^{x} f(t) \, dt$，则 $F(x)$ 在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上连续可导，且 $F(-\pi/2)=0$，$F(\pi/2)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t) \, dt = 0$。
公式：F(x) = \int_{-\pi/2}^{x} f(t) \, dt
提示：注意积分下限是 $-\pi/2$，确保 $F(-\pi/2)=0$。
步骤 2/6
目标：利用第二个条件得到关于 F 的积分等式
由 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \sin x \, dx = 0$，使用分部积分：
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(x) \sin x \, dx = \left[ F(x) \sin x \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} F(x) \cos x \, dx = 0 - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} F(x) \cos x \, dx = 0,$$
所以 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} F(x) \cos x \, dx = 0$。
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，令 $u = \sin x$，$dv = f(x) dx$，则 $du = \cos x dx$，$v = F(x)$。注意 $F(\pi/2)=0$ 和 $\sin(\pi/2)=1$，$\sin(-\pi/2)=-1$，但乘积为零。
步骤 3/6
目标：由积分中值定理得到 F 的一个零点
由于 $\cos x > 0$ 在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上，且 $F(x)$ 连续，由积分中值定理，存在 $\xi \in (-\pi/2, \pi/2)$ 使得 $F(\xi) = 0$。
公式：\int_a^b g(x) h(x) \, dx = g(c) \int_a^b h(x) \, dx
提示：注意 $\cos x$ 在区间内不变号，且 $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx = 2 > 0$，所以可以应用积分中值定理。
步骤 4/6
目标：确定 F 的零点个数
已知 $F(-\pi/2)=0$，$F(\pi/2)=0$，且存在 $\xi \in (-\pi/2, \pi/2)$ 使得 $F(\xi)=0$。若 $\xi$ 与端点不同，则 $F$ 在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上至少有三个零点：$-\pi/2, \xi, \pi/2$。若 $\xi$ 等于端点，则至少有两个零点，但下面将证明至少两个不同的零点。
提示：注意 $\xi$ 可能等于端点吗？由于 $\cos x > 0$ 在开区间，且 $F$ 连续，$\xi$ 严格在开区间内，所以 $\xi$ 与端点不同。
步骤 5/6
目标：应用罗尔定理得到 f 的零点
由罗尔定理，在 $F$ 的相邻零点之间，存在一点使得 $F'(x)=0$。由于 $F'(x)=f(x)$，因此 $f(x)$ 在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上至少有两个不同的零点（例如，在 $-\pi/2$ 与 $\xi$ 之间，以及 $\xi$ 与 $\pi/2$ 之间）。
公式：罗尔定理：若 $F(a)=F(b)$，则存在 $c \in (a,b)$ 使得 $F'(c)=0$
提示：确保 $F$ 在闭区间上连续，开区间内可导，且端点值相等。这里 $F$ 在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上连续可导，满足条件。
步骤 6/6
目标：结论
因此，$f(x)$ 在 $(-\pi/2, \pi/2)$ 上至少有两个不同的零点。
提示：注意题目要求证明至少有两个不同的零点，这里已经得到。
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