安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五，（15分）求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换：令 x = e^u
由于被积函数含有 $x - \frac{1}{x}$，考虑使用指数代换 $x = e^u$，其中 $u \in (-\infty, +\infty)$。则 $dx = e^u du$，且 $x - \frac{1}{x} = e^u - e^{-u} = 2\sinh u$。原积分化为：
$$ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(2\sinh u)^2} e^u du = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4\sinh^2 u + u} du. $$
公式：x = e^u, \ dx = e^u du, \ \sinh u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}
提示：注意代换后积分限变为 $(-\infty, +\infty)$，且被积函数不是偶函数。
步骤 2/4
目标：利用对称性构造对称形式
令 $u \to -u$，则 $\sinh(-u) = -\sinh u$，$\sinh^2(-u) = \sinh^2 u$，且 $du \to -du$，积分限互换。得到：
$$ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4\sinh^2 u - u} du. $$
将原积分与变换后的积分相加：
$$ 2I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4\sinh^2 u} (e^u + e^{-u}) du = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4\sinh^2 u} \cdot 2\cosh u \, du. $$
因此：
$$ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4\sinh^2 u} \cosh u \, du. $$
公式：\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}
提示：相加后指数部分合并，注意 $e^u + e^{-u} = 2\cosh u$。
步骤 3/4
目标：变量代换：令 v = sinh u
令 $v = \sinh u$，则 $dv = \cosh u \, du$。当 $u$ 从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 时，$v$ 也从 $-\infty$ 到 $+\infty$。代入得：
$$ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-4v^2} dv. $$
公式：v = \sinh u, \ dv = \cosh u \, du
提示：注意 $\cosh u$ 与 $dv$ 的对应关系，积分限不变。
步骤 4/4
目标：计算高斯积分
利用高斯积分公式 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a v^2} dv = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$，其中 $a > 0$。这里 $a = 4$，所以：
$$ I = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. $$
公式：\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a v^2} dv = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
提示：高斯积分公式中系数 $a$ 要正确代入，注意 $\sqrt{\pi/4} = \sqrt{\pi}/2$。
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