安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八，（15 分）计算 $\displaystyle I=\int_{L}\left[e^{x} \sin y-3(x+y)\right] d x+\left(e^{x} \cos y-x\right) d y, L$ 为从 $\displaystyle O(2,0)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 到 $\displaystyle A(0,0)$ 的弧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别曲线类型并参数化
曲线 $L: y = \sqrt{2x - x^2}$ 可化为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，$y \geq 0$，是上半圆，从 $O(2,0)$ 到 $A(0,0)$。参数化：令 $x = 1 + \cos t$，$y = \sin t$，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$（$t=0$ 对应 $O$，$t=\pi$ 对应 $A$）。
提示：注意参数 $t$ 的起始值：$x=2$ 时 $\cos t=1$，$t=0$；$x=0$ 时 $\cos t=-1$，$t=\pi$。方向是从 $O$ 到 $A$，所以 $t$ 从 $0$ 到 $\pi$。
步骤 2/8
目标：直接代入参数化计算积分（思路）
计算 $dx = -\sin t\, dt$，$dy = \cos t\, dt$。被积函数 $P = e^x \sin y - 3(x+y)$，$Q = e^x \cos y - x$。代入得 $I = \int_0^\pi [P(-\sin t) + Q \cos t]\, dt$。展开后得到复杂表达式，不易直接积分，故考虑格林公式。
提示：直接计算复杂，注意观察被积函数特点，考虑使用格林公式简化。
步骤 3/8
目标：应用格林公式，补直线段构成封闭曲线
补直线段 $L_1: y=0$，$x$ 从 $0$ 到 $2$，方向从 $A$ 到 $O$。则 $L + L_1$ 构成顺时针封闭曲线（$L$ 从 $O$ 到 $A$，$L_1$ 从 $A$ 到 $O$）。格林公式要求逆时针为正，故顺时针环积分 $\oint_{L+L_1} P\,dx+Q\,dy = -\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dxdy$，其中 $D$ 为半圆区域。
公式：格林公式：$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})\,dxdy$（逆时针方向）
提示：注意方向：顺时针时环积分等于负的二重积分。
步骤 4/8
目标：计算偏导数差
$P = e^x \sin y - 3(x+y)$，$\frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - 3$。$Q = e^x \cos y - x$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y - 1$。所以 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (e^x \cos y - 1) - (e^x \cos y - 3) = 2$。
提示：偏导数计算要仔细，注意 $e^x$ 对 $x$ 求导不变，对 $y$ 求导为0。
步骤 5/8
目标：计算二重积分
$\iint_D 2\,dxdy = 2 \times \text{半圆面积} = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi$（半圆半径 $R=1$，面积 $\frac{\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2}$）。因此顺时针环积分 $\oint_{L+L_1} P\,dx+Q\,dy = -\pi$。
提示：半圆面积公式：$\frac{1}{2}\pi R^2$，这里 $R=1$。
步骤 6/8
目标：计算直线段 $L_1$ 上的积分
在 $L_1: y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $0$ 到 $2$。$P = e^x \cdot 0 - 3(x+0) = -3x$，$Q = e^x \cdot 1 - x = e^x - x$。但 $dy=0$，所以 $\int_{L_1} P\,dx+Q\,dy = \int_0^2 (-3x)\,dx = -3 \cdot \frac{4}{2} = -6$。注意方向：从 $A$ 到 $O$，$x$ 从 $0$ 到 $2$。
提示：直线段上 $y=0$，$dy=0$，简化被积函数。积分限与方向一致。
步骤 7/8
目标：由环积分结果反求曲线积分
由 $\int_L + \int_{L_1} = -\pi$，得 $\int_L = -\pi - \int_{L_1} = -\pi - (-6) = 6 - \pi$。
提示：注意符号：$\int_{L_1}$ 已算得 $-6$，代入时减去负值等于加6。
步骤 8/8
目标：得出最终答案
因此，所求曲线积分 $I = 6 - \pi$。
提示：最终答案需化简，写成 $6-\pi$ 形式。
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