安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六，（15 分）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收敛。证明：$\displaystyle g(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} a x d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用三角恒等式化简被积函数
由 $\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos(2ax)}{2}$，得 $$g(a) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos(2ax) \, dx.$$ 令 $C = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx$ 为常数，则 $g(a) = C - \frac{1}{2} h(a)$，其中 $h(a) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cos(2ax) \, dx$。由于常数函数一致连续，只需证明 $h(a)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：\sin^2(ax) = \frac{1 - \cos(2ax)}{2}
提示：注意常数项不影响一致连续性，只需关注含参积分部分。
步骤 2/5
目标：估计 $h(a_1)-h(a_2)$ 的绝对值
对任意 $a_1, a_2 \in \mathbb{R}$，$$|h(a_1) - h(a_2)| = \left| \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) [\cos(2a_1 x) - \cos(2a_2 x)] \, dx \right| \leq \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \, |\cos(2a_1 x) - \cos(2a_2 x)| \, dx.$$
提示：利用积分的绝对值不等式，将差值的绝对值放大为被积函数绝对值的积分。
步骤 3/5
目标：利用余弦差公式放缩
由余弦差公式 $\cos u - \cos v = -2 \sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}$，得 $$|\cos(2a_1 x) - \cos(2a_2 x)| = 2 \left| \sin\left( (a_1+a_2)x \right) \sin\left( (a_1-a_2)x \right) \right| \leq 2 \left| \sin\left( (a_1-a_2)x \right) \right|.$$ 因此 $$|h(a_1) - h(a_2)| \leq 2 \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \, |\sin((a_1-a_2)x)| \, dx.$$
公式：\cos u - \cos v = -2 \sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}
提示：注意 $|\sin((a_1+a_2)x)| \leq 1$，所以可以进一步放缩。
步骤 4/5
目标：利用 $f$ 的可积性分割积分区间
对任意 $\varepsilon > 0$，由于 $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 收敛，存在 $M > 0$ 使得 $$\int_{|x| > M} |f(x)| \, dx < \frac{\varepsilon}{4}.$$ 同时，对 $|x| \leq M$，有 $|\sin((a_1-a_2)x)| \leq |a_1-a_2| \cdot |x| \leq |a_1-a_2| M$。于是 $$\begin{aligned} |h(a_1)-h(a_2)| &\leq 2 \int_{|x|\leq M} |f(x)| \, |\sin((a_1-a_2)x)| \, dx + 2 \int_{|x|>M} |f(x)| \, |\sin((a_1-a_2)x)| \, dx \\ &\leq 2 |a_1-a_2| M \int_{|x|\leq M} |f(x)| \, dx + 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4} \\ &\leq 2 |a_1-a_2| M \|f\|_1 + \frac{\varepsilon}{2}, \end{aligned}$$ 其中 $\|f\|_1 = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 为有限常数。
提示：注意 $\|f\|_1$ 是常数，但可能为零，需单独处理。
步骤 5/5
目标：选择 $\delta$ 证明一致连续性
若 $\|f\|_1 = 0$，则 $f$ 几乎处处为零，$g$ 恒为常数，显然一致连续。否则，令 $\delta = \frac{\varepsilon}{4 M \|f\|_1}$。则当 $|a_1-a_2| < \delta$ 时，$$|h(a_1)-h(a_2)| \leq 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4 M \|f\|_1} \cdot M \|f\|_1 + \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ 因此 $h(a)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，从而 $g(a)$ 也一致连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $M$ 和 $\|f\|_1$，但 $M$ 由 $\varepsilon$ 决定，因此 $\delta$ 仅依赖于 $\varepsilon$，满足一致连续定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。