安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十，（15 分）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析级数结构，确定判别方法
观察级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 具有交错符号 $(-1)^n$，考虑使用莱布尼茨判别法（交错级数判别法）的推广形式来证明一致收敛。记通项为 $u_n(x)=\frac{(-1)^n (n+x)^n}{n^{n+1}}$，并令 $a_n(x)=\frac{(n+x)^n}{n^{n+1}}$。
公式：u_n(x)=\frac{(-1)^n (n+x)^n}{n^{n+1}}, \quad a_n(x)=\frac{(n+x)^n}{n^{n+1}}
提示：注意交错级数一致收敛的条件：$a_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减且一致趋于零。
步骤 2/5
目标：化简通项绝对值并给出上界估计
将 $a_n(x)$ 化简：$a_n(x)=\frac{(n+x)^n}{n^{n+1}}=\frac{1}{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$。由于 $x\in[0,1]$，有 $1\le 1+\frac{x}{n}\le 1+\frac{1}{n}$，因此 $a_n(x)\le \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$。利用重要极限 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
公式：a_n(x)=\frac{1}{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \le \frac{e}{n}
提示：上界 $\frac{e}{n}$ 与 $x$ 无关，这为一致趋于零提供了基础。
步骤 3/5
目标：证明 $a_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减
考虑比值 $\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n}$。将分子改写为 $\left(1+\frac{x}{n+1}\right)\cdot\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^n$，由于 $\left(1+\frac{x}{n+1}\right)^n\le\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$，可得 $\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\le\frac{n}{n+1}\left(1+\frac{x}{n+1}\right)=\frac{n(n+1+x)}{(n+1)^2}$。当 $x\le 1$ 时，$\frac{n(n+1+x)}{(n+1)^2}\le\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}<1$，故 $a_{n+1}(x)
公式：\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\le\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}<1
提示：单调性的证明需注意不等式放缩的方向，确保比值小于1。
步骤 4/5
目标：证明 $a_n(x)$ 关于 $x$ 一致趋于零
由第二步得到 $0
公式：\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}a_n(x)=0
提示：一致趋于零的关键是上界与 $x$ 无关且趋于零。
步骤 5/5
目标：应用莱布尼茨判别法得出一致收敛结论
对于交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n(x)$，已验证：$a_n(x)\ge 0$；对每个 $x\in[0,1]$，$a_n(x)$ 单调递减；$a_n(x)$ 关于 $x$ 一致趋于零。根据一致收敛的莱布尼茨判别法，原级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+x)^n}{n^{n+1}} \text{ 在 }[0,1]\text{ 上一致收敛}
提示：莱布尼茨判别法推广到函数项级数时，需确保单调性和趋于零的一致性。
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