安徽师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四，（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{2 x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：选择分部积分中的u和dv
令 $u = \ln x$，$dv = \frac{2x}{(1+x^2)^2} dx$。则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \int \frac{2x}{(1+x^2)^2} dx$。
公式：分部积分公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意选择u和dv时，通常让u易于求导，dv易于积分。这里$\ln x$的导数是$\frac{1}{x}$，而$\frac{2x}{(1+x^2)^2}$的积分可通过凑微分得到。
步骤 2/6
目标：计算v
计算 $v = \int \frac{2x}{(1+x^2)^2} dx$。令 $t = 1+x^2$，则 $dt = 2x dx$，所以 $v = \int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{1+x^2}$。
公式：凑微分：$\int \frac{2x}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{d(1+x^2)}{(1+x^2)^2}$
提示：注意积分后不要忘记常数，但分部积分中v可以取一个原函数，常数可省略。
步骤 3/6
目标：应用分部积分公式
由分部积分公式：$\int \frac{2x \ln x}{(1+x^2)^2} dx = u v - \int v du = -\frac{\ln x}{1+x^2} - \int \left(-\frac{1}{1+x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{1+x^2} + \int \frac{dx}{x(1+x^2)}$。
公式：分部积分公式
提示：注意符号：$uv$项中$v$为负，代入时要小心；$\int v du$中$v$为负，负负得正。
步骤 4/6
目标：分解被积函数为部分分式
计算 $\int \frac{dx}{x(1+x^2)}$。将 $\frac{1}{x(1+x^2)}$ 分解为 $\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}$。验证：$\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x(1+x^2)}$。
公式：部分分式分解
提示：分解时注意分子分母次数，常用待定系数法，但这里可直接观察。
步骤 5/6
目标：积分分解后的表达式
则 $\int \frac{dx}{x(1+x^2)} = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{1+x^2} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$。
公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$，$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$
提示：注意绝对值：$\ln|x|$，因为$x$可能为负；但原题中$\ln x$定义域$x>0$，所以可写$\ln x$。另外，第二个积分用凑微分。
步骤 6/6
目标：合并结果
将结果代入：原积分 $= -\frac{\ln x}{1+x^2} + \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$。由于$x>0$，$\ln|x| = \ln x$，所以最终结果为 $-\frac{\ln x}{1+x^2} + \ln x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$。
提示：注意定义域：原积分中$\ln x$要求$x>0$，因此结果中$\ln|x|$可简化为$\ln x$。
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