安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
一、（15分）叙述数列的柯西收敛准则，并用柯西收敛准则证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，
其中 $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos ^{1} 1}{1^{1}}+\frac{\cos ^{2} 2}{2^{2}}+\frac{\cos ^{3} 3}{3^{3}}+\cdots+\frac{\cos ^{n} n}{n^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述柯西收敛准则
数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n > N$ 时，有 $|a_m - a_n| < \varepsilon$。
提示：注意条件是对于任意 $\varepsilon > 0$，且 $m > n > N$，顺序不能颠倒。
步骤 2/5
目标：写出差值的表达式
设 $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{\cos^k k}{k^k}$。对于任意 $m > n$，有 $|a_m - a_n| = \left| \sum_{k=n+1}^m \frac{\cos^k k}{k^k} \right|$。
公式：$a_m - a_n = \sum_{k=n+1}^m \frac{\cos^k k}{k^k}$
提示：注意求和是从 $n+1$ 到 $m$，不要漏项。
步骤 3/5
目标：利用绝对值不等式放缩
由三角不等式，$|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n+1}^m \frac{|\cos^k k|}{k^k}$。由于 $|\cos^k k| \leq 1$，所以 $|a_m - a_n| \leq \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k^k}$。
公式：$|\sum a_k| \leq \sum |a_k|$
提示：注意 $\cos^k k$ 的绝对值不超过1，但 $\cos k$ 可能为负，这里用绝对值放缩。
步骤 4/5
目标：进一步放缩为等比级数
当 $k \geq 2$ 时，$k^k \geq 2^k$，因此 $\frac{1}{k^k} \leq \frac{1}{2^k}$。于是 $\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k^k} \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^n}$。
公式：$\frac{1}{k^k} \leq \frac{1}{2^k}$ 对于 $k \geq 2$
提示：注意 $k=1$ 时 $1^1=1$，但 $n$ 较大时 $n+1 \geq 2$，所以放缩有效。
步骤 5/5
目标：应用柯西收敛准则
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \lceil \log_2(1/\varepsilon) \rceil$，则当 $m > n > N$ 时，有 $|a_m - a_n| \leq \frac{1}{2^n} < \frac{1}{2^N} \leq \varepsilon$。由柯西收敛准则，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
公式：$\frac{1}{2^n} < \varepsilon$ 当 $n > \log_2(1/\varepsilon)$
提示：注意 $N$ 的取法要保证 $\frac{1}{2^N} \leq \varepsilon$，这里取上整。
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