安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则
$$
\int_{a}^{b} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设极限函数并说明连续性
设 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$。由于函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，且每一项 $f_n$ 连续，则极限函数 $f$ 也在 $[a,b]$ 上连续（一致收敛保持连续性）。
提示：注意：一致收敛是极限函数连续性的充分条件，但非必要条件。
步骤 2/6
目标：写出要证明的等式
要证明：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx.
$$
提示：明确目标：交换极限与积分次序。
步骤 3/6
目标：考虑差值的绝对值并放缩
考虑差值的绝对值：
$$
\left| \int_a^b f_n(x) \, dx - \int_a^b f(x) \, dx \right| = \left| \int_a^b (f_n(x) - f(x)) \, dx \right| \leq \int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx.
$$
这里使用了积分的三角不等式。
公式：$\left|\int g\right| \leq \int |g|$
提示：注意绝对值不等式的方向，不要忘记绝对值。
步骤 4/6
目标：利用一致收敛性控制误差
由于 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{b-a}$。
公式：一致收敛定义：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in[a,b]: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛中 $N$ 与 $x$ 无关，这是关键。
步骤 5/6
目标：积分放缩得到最终不等式
于是，
$$
\int_a^b |f_n(x) - f(x)| \, dx < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} \, dx = \varepsilon.
$$
因此，当 $n > N$ 时，
$$
\left| \int_a^b f_n(x) \, dx - \int_a^b f(x) \, dx \right| < \varepsilon.
$$
公式：$\int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} dx = \varepsilon$
提示：注意积分区间长度 $b-a$ 与分母约掉。
步骤 6/6
目标：由极限定义得出结论
由极限定义，
$$
\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, dx.
$$
证毕。
公式：极限定义：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N: |a_n - A|<\varepsilon$
提示：注意最后一步将 $f(x)$ 替换为极限形式。
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