安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）判断 $e$ 是有理数，还是无理数？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：反证法假设
假设 $e$ 是有理数，则存在正整数 $p, q$ 使得 $e = \frac{p}{q}$。
公式：e = \frac{p}{q}
提示：注意 $p, q$ 是正整数，且 $q \neq 0$。
步骤 2/6
目标：利用级数展开构造整数表达式
考虑 $e$ 的级数展开：$e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$。定义 $a = q! \left( e - \sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!} \right)$。
公式：e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}, \quad a = q! \left( e - \sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!} \right)
提示：注意 $q!$ 乘以级数部分和，目的是消去分母。
步骤 3/6
目标：证明 $a$ 是整数
由于 $q! e = q! \cdot \frac{p}{q} = p (q-1)!$ 是整数，且 $q! \sum_{n=0}^{q} \frac{1}{n!} = \sum_{n=0}^{q} \frac{q!}{n!}$，当 $n \leq q$ 时 $\frac{q!}{n!}$ 是整数，所以 $a$ 是整数。
公式：q! e = p (q-1)!, \quad \frac{q!}{n!} \in \mathbb{Z} \text{ for } n \leq q
提示：确保 $q! e$ 是整数，因为 $e$ 假设为有理数。
步骤 4/6
目标：将 $a$ 表示为无穷级数
另一方面，$a = q! \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{n!} = \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}$。
公式：a = \sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{q!}{n!}
提示：注意求和从 $n=q+1$ 开始。
步骤 5/6
目标：放缩 $a$ 的上界
对于 $n > q$，有 $\frac{q!}{n!} = \frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots n} \leq \frac{1}{(q+1)^{n-q}}$。因此 $0 < a = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots (q+k)} < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^k} = \frac{1}{q}$。
公式：\frac{q!}{n!} \leq \frac{1}{(q+1)^{n-q}}, \quad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^k} = \frac{1}{q}
提示：放缩时注意分母乘积的最小值，以及等比数列求和公式。
步骤 6/6
目标：导出矛盾
由于 $q \geq 1$，所以 $0 < a < 1$。但 $a$ 是整数，矛盾。因此假设不成立，$e$ 是无理数。
提示：整数 $a$ 不能介于0和1之间。
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