安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）已知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求证：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (r x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并求导
定义 $F(r) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(rx) \, dx$，对 $r$ 求导得 $F'(r) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cdot (-x \sin(rx)) \, dx = -\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(rx) \, dx$。
公式：$F'(r) = -\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(rx) \, dx$
提示：注意求导时积分与求导交换次序的条件（被积函数连续且积分一致收敛），此处满足。
步骤 2/6
目标：分部积分处理导数
对 $\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(rx) \, dx$ 分部积分：令 $u = \sin(rx)$，$dv = x e^{-x^{2}} dx$，则 $du = r \cos(rx) dx$，$v = -\frac{1}{2} e^{-x^{2}}$。于是
\[
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(rx) \, dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \sin(rx) \right]_{0}^{+\infty} + \frac{r}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(rx) \, dx = 0 + \frac{r}{2} F(r).
\]
公式：$\int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} \sin(rx) \, dx = \frac{r}{2} F(r)$
提示：注意边界项：当 $x \to +\infty$ 时 $e^{-x^{2}} \to 0$，且 $\sin(rx)$ 有界，故为0；当 $x=0$ 时 $\sin(0)=0$。
步骤 3/6
目标：建立微分方程
由前两步得 $F'(r) = -\frac{r}{2} F(r)$，这是一个一阶线性齐次微分方程。
公式：$F'(r) = -\frac{r}{2} F(r)$
提示：注意符号：$F'(r) = -\frac{r}{2} F(r)$，不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：解微分方程
分离变量：$\frac{dF}{F} = -\frac{r}{2} dr$，积分得 $\ln|F| = -\frac{r^{2}}{4} + C$，即 $F(r) = C e^{-\frac{r^{2}}{4}}$，其中 $C$ 为常数。
公式：$F(r) = C e^{-\frac{r^{2}}{4}}$
提示：积分常数 $C$ 待定，注意 $F(r)$ 为正，绝对值可去掉。
步骤 5/6
目标：利用已知条件确定常数
由已知 $\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，代入 $r=0$ 得 $F(0) = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(0) dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$，所以 $C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：$F(0) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：注意 $\cos(0)=1$，因此 $F(0)$ 就是已知的积分值。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将 $C$ 代入得 $F(r) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}}$，即
\[
\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(rx) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}}.
\]
公式：$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos(rx) \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{r^{2}}{4}}$
提示：最终结果与 $r$ 有关，注意指数为 $-\frac{r^{2}}{4}$。
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