安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）判断 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} & , x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\ 1 & , x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty$, $\displaystyle +\infty)$ 上的一致连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数定义与连续性
函数定义为 $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$。由于 $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 1 = f(0)$，故 $f$ 在 $x=0$ 处连续，从而 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
提示：注意 $x=0$ 处的定义与极限值相等，确保连续性。
步骤 2/6
目标：判断无穷远处的极限行为
当 $|x| \to \infty$ 时，$\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|} \to 0$，故 $f(x) \to 0$。因此 $f$ 在无穷远处趋于0。
公式：\left|\frac{\sin x}{x}\right| \leq \frac{1}{|x|}
提示：利用 $|\sin x| \leq 1$ 进行放缩。
步骤 3/6
目标：在 $[0, +\infty)$ 上的一致连续性
$f$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ 存在有限。根据定理：若函数在区间上连续且极限存在，则一致连续。故 $f$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致连续。
提示：注意区间是闭区间 $[0, +\infty)$ 但非紧，需利用极限存在性。
步骤 4/6
目标：在 $(-\infty, 0]$ 上的一致连续性
同理，$f$ 在 $(-\infty, 0]$ 上连续，且 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$，故 $f$ 在 $(-\infty, 0]$ 上一致连续。
提示：对称性可简化分析。
步骤 5/6
目标：整体一致连续性
$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且在 $(-\infty, 0]$ 和 $[0, +\infty)$ 上分别一致连续。由于两个区间在 $x=0$ 处重叠（或衔接），可以证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。具体地，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$ 使在 $(-\infty,0]$ 上满足条件，存在 $\delta_2>0$ 使在 $[0,+\infty)$ 上满足条件，取 $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$，则对任意 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $|x-y|<\delta$，若 $x,y$ 同号或跨过0，均可利用相应区间的一致连续性或连续性得到 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
提示：注意跨过0的情况需利用 $f$ 在0处的连续性。
步骤 6/6
目标：结论
因此，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上一致连续。
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