安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{1+i^{2}}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项
将求和项中的分母化简：$n+\frac{1+i^{2}}{n} = \frac{n^{2}+1+i^{2}}{n}$，因此 $\frac{1}{n+\frac{1+i^{2}}{n}} = \frac{n}{n^{2}+1+i^{2}}$。
提示：注意分母通分时不要漏掉n的平方项。
步骤 2/5
目标：提取因子1/n
将通项写成 $\frac{1}{n} \cdot \frac{n^{2}}{n^{2}+1+i^{2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{i^{2}}{n^{2}}}$。
提示：提取1/n后，剩余部分要化为关于i/n的函数形式。
步骤 3/5
目标：化为黎曼和形式
原极限 $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n^{2}}+\left(\frac{i}{n}\right)^{2}}$。当$n\to\infty$时，$\frac{1}{n^{2}}\to0$，因此极限等于 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{i}{n}\right)^{2}}$。
提示：注意$\frac{1}{n^{2}}$项在极限下消失，但需说明其趋于0。
步骤 4/5
目标：识别定积分
该极限是函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和，其中 $x_i = \frac{i}{n}$，$\Delta x = \frac{1}{n}$。因此 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\left(\frac{i}{n}\right)^{2}} = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$。
公式：黎曼和定义：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)$
提示：确保区间端点和分割正确，这里a=0，b=1。
步骤 5/5
目标：计算定积分
计算 $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx = \arctan x \Big|_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C$
提示：注意arctan(1)=π/4，arctan(0)=0。
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