安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）证明：曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的切平面过定点，其中 $F$ 具有连续偏导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设变量并写出曲面的一般点
令 $u = \frac{z}{y}$, $v = \frac{x}{z}$, $w = \frac{y}{x}$，则曲面方程化为 $F(u, v, w) = 0$。设曲面上任意一点为 $P(x_0, y_0, z_0)$，满足 $F\left(\frac{z_0}{y_0}, \frac{x_0}{z_0}, \frac{y_0}{x_0}\right) = 0$，其中 $x_0, y_0, z_0$ 均不为零。
公式：u = \frac{z}{y},\quad v = \frac{x}{z},\quad w = \frac{y}{x}
提示：注意分母不为零，考虑一般位置的点。
步骤 2/5
目标：求全微分并展开
对 $F(u,v,w)=0$ 求全微分：$F_u \, du + F_v \, dv + F_w \, dw = 0$。计算各微分：$du = d\left(\frac{z}{y}\right) = \frac{y\,dz - z\,dy}{y^2}$，$dv = d\left(\frac{x}{z}\right) = \frac{z\,dx - x\,dz}{z^2}$，$dw = d\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2}$。代入得：$F_u \cdot \frac{y\,dz - z\,dy}{y^2} + F_v \cdot \frac{z\,dx - x\,dz}{z^2} + F_w \cdot \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2} = 0$。
公式：F_u \, du + F_v \, dv + F_w \, dw = 0
提示：注意微分运算的准确性，尤其是符号。
步骤 3/5
目标：整理成关于 dx, dy, dz 的线性方程
分别提取 $dx, dy, dz$ 的系数：
- $dx$ 的系数：$\frac{F_v}{z} - \frac{y F_w}{x^2}$
- $dy$ 的系数：$-\frac{z F_u}{y^2} + \frac{F_w}{x}$
- $dz$ 的系数：$\frac{F_u}{y} - \frac{x F_v}{z^2}$
因此切平面方程为（在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处）：
$$\left( \frac{F_v}{z_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0^2} \right)(x - x_0) + \left( -\frac{z_0 F_u}{y_0^2} + \frac{F_w}{x_0} \right)(y - y_0) + \left( \frac{F_u}{y_0} - \frac{x_0 F_v}{z_0^2} \right)(z - z_0) = 0$$
公式：\left( \frac{F_v}{z_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0^2} \right)(x - x_0) + \left( -\frac{z_0 F_u}{y_0^2} + \frac{F_w}{x_0} \right)(y - y_0) + \left( \frac{F_u}{y_0} - \frac{x_0 F_v}{z_0^2} \right)(z - z_0) = 0
提示：所有偏导数均在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处取值，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：验证原点是否在切平面上
将 $(x,y,z) = (0,0,0)$ 代入切平面方程左边，得到：
$$\left( \frac{F_v}{z_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0^2} \right)(-x_0) + \left( -\frac{z_0 F_u}{y_0^2} + \frac{F_w}{x_0} \right)(-y_0) + \left( \frac{F_u}{y_0} - \frac{x_0 F_v}{z_0^2} \right)(-z_0)$$
化简各项：
第一项：$-\frac{x_0 F_v}{z_0} + \frac{y_0 F_w}{x_0}$
第二项：$\frac{z_0 F_u}{y_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0}$
第三项：$-\frac{z_0 F_u}{y_0} + \frac{x_0 F_v}{z_0}$
相加后，所有项相互抵消，总和为 0。因此原点 $(0,0,0)$ 满足切平面方程。
公式：\left( \frac{F_v}{z_0} - \frac{y_0 F_w}{x_0^2} \right)(-x_0) + \left( -\frac{z_0 F_u}{y_0^2} + \frac{F_w}{x_0} \right)(-y_0) + \left( \frac{F_u}{y_0} - \frac{x_0 F_v}{z_0^2} \right)(-z_0) = 0
提示：注意符号的抵消，细心计算每一项。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于曲面上任意一点处的切平面都经过原点 $(0,0,0)$，因此该曲面所有切平面均过定点 $(0,0,0)$。
提示：定点为原点，与曲面上的点无关。
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