安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）证明：黎曼函数 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确可积的充要条件
根据黎曼可积的定义，函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在分割 $T$ 使得达布上和 $S(T)$ 与达布下和 $s(T)$ 的差 $S(T)-s(T)<\varepsilon$。本题中，由于无理点处函数值为0，有理点处函数值为正，且有理点稠密，因此对任何分割，下和 $s(T)=0$。故只需证明上和 $S(T)$ 可以任意小。
公式：S(T)-s(T)<\varepsilon
提示：注意下和恒为0是因为任何小区间内都含有无理点，函数值下确界为0。
步骤 2/6
目标：分析函数值较大的点
对于给定的 $\varepsilon>0$，考虑函数值大于 $\varepsilon/2$ 的点。这些点必然是有理点 $x=p/q$（既约分数），且满足 $1/q > \varepsilon/2$，即 $q < 2/\varepsilon$。分母 $q$ 是正整数，因此这样的有理点只有有限个，记为 $x_1, x_2, \dots, x_k$。
公式：1/q > \varepsilon/2 \Rightarrow q < 2/\varepsilon
提示：注意分母 $q$ 为正整数，所以满足条件的 $q$ 只有有限个，从而有理点有限。
步骤 3/6
目标：构造分割控制大值点
取分割 $T$ 使得每个 $x_i$ 位于长度为 $\delta_i$ 的小区间内，且这些小区间互不相交。取 $\delta_i = \varepsilon/(2k)$，则这些小区间的总长度为 $\sum_{i=1}^k \delta_i = \varepsilon/2$。
公式：\delta_i = \frac{\varepsilon}{2k}
提示：确保小区间互不相交，且每个 $x_i$ 被包含在对应小区间内部。
步骤 4/6
目标：估计大值点区间的上和贡献
在这些包含 $x_i$ 的小区间上，函数值的上确界不超过1（因为 $R(x)\leq 1$），因此这些小区间对上和的贡献不超过 $1 \cdot (\varepsilon/2) = \varepsilon/2$。
公式：\text{贡献} \leq 1 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\varepsilon}{2}
提示：注意函数值最大为1，但实际可能小于1，这里用上界估计。
步骤 5/6
目标：估计其余区间的上和贡献
在分割的其余区间上，所有点的函数值均不超过 $\varepsilon/2$（因为大于 $\varepsilon/2$ 的点已被单独处理），因此这些区间对上和的贡献不超过 $(\varepsilon/2) \cdot 1 = \varepsilon/2$（区间总长度不超过1）。
公式：\text{贡献} \leq \frac{\varepsilon}{2} \cdot 1 = \frac{\varepsilon}{2}
提示：注意区间总长度为1，但实际可能小于1，这里用1作为上界。
步骤 6/6
目标：总和控制
因此，总的上和 $S(T) \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$。于是 $S(T)-s(T)=S(T)<\varepsilon$，由可积的充要条件知 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积。
公式：S(T) \leq \varepsilon
提示：注意下和 $s(T)=0$，所以差即为上和。
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