安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
十、（15 分）若 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半球面，取上侧，求曲面积分
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\iint_{S}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲面类型，考虑使用高斯公式
曲面 $S$ 是上半球面 $x^2+y^2+z^2=1, z\geq 0$，取上侧。由于不是封闭曲面，不能直接使用高斯公式。需要补上平面 $S_1: z=0, x^2+y^2\leq 1$，取下侧，构成封闭曲面 $\Sigma = S \cup S_1$，取外侧。原积分 $I = \iint_S = \iint_\Sigma - \iint_{S_1}$。
提示：注意封闭曲面的外侧方向：上半球面上侧与平面下侧构成外侧。
步骤 2/7
目标：计算封闭曲面上的积分（高斯公式）
设 $P=x^2-x$, $Q=y^2-y$, $R=z^2-z$。散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=2x-1+2y-1+2z-1=2(x+y+z)-3$。由高斯公式，$\iint_\Sigma = \iiint_V (2(x+y+z)-3) dV$，其中 $V$ 是上半球体 $x^2+y^2+z^2\leq 1, z\geq 0$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，这里已满足。
步骤 3/7
目标：计算三重积分（利用对称性）
将三重积分拆开：$\iiint_V (2(x+y+z)-3) dV = 2\iiint_V x dV + 2\iiint_V y dV + 2\iiint_V z dV - 3\iiint_V dV$。由对称性，$\iiint_V x dV = \iiint_V y dV = 0$。$\iiint_V dV$ 是上半球体积 $\frac{2}{3}\pi$。
提示：对称性：积分区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，被积函数 $x$ 和 $y$ 是奇函数，故积分为0。
步骤 4/7
目标：计算 $\iiint_V z dV$
使用球坐标：$x=r\sin\phi\cos\theta$, $y=r\sin\phi\sin\theta$, $z=r\cos\phi$, $dV=r^2\sin\phi dr d\phi d\theta$，积分区域 $0\leq r\leq 1$, $0\leq \phi\leq \pi/2$, $0\leq \theta\leq 2\pi$。则 $\iiint_V z dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\phi d\phi \int_0^1 r\cos\phi \cdot r^2\sin\phi dr = 2\pi \int_0^{\pi/2} \cos\phi\sin^2\phi d\phi \int_0^1 r^3 dr$。计算得 $\int_0^1 r^3 dr = \frac{1}{4}$, $\int_0^{\pi/2} \cos\phi\sin^2\phi d\phi = \frac{1}{3}$，所以 $\iiint_V z dV = 2\pi \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{6}$。
公式：球坐标变换公式
提示：注意 $\phi$ 从0到 $\pi/2$（上半球），$\sin\phi$ 非负。
步骤 5/7
目标：得出封闭曲面上的积分值
代入：$\iint_\Sigma = 2\cdot 0 + 2\cdot 0 + 2\cdot \frac{\pi}{6} - 3\cdot \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$。
提示：注意计算符号：$3\cdot \frac{2}{3}\pi = 2\pi$。
步骤 6/7
目标：计算平面 $S_1$ 上的积分
平面 $S_1: z=0, x^2+y^2\leq 1$，取下侧。由于 $z=0$，$dz=0$，所以 $dy dz$ 和 $dz dx$ 项为0。被积函数中 $z^2-z=0$，因此 $\iint_{S_1} = \iint_{S_1} 0 \, dx dy = 0$。
提示：取下侧时，$dxdy$ 的符号为负，但这里被积函数为0，不影响结果。
步骤 7/7
目标：得到原积分结果
原积分 $I = \iint_\Sigma - \iint_{S_1} = -\frac{5\pi}{3} - 0 = -\frac{5\pi}{3}$。
提示：最终答案：$-\frac{5\pi}{3}$。
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