安徽师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）求常数 $k$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-\sin x, x \in[0,+\infty) \\ \arctan x+k, x \in(-\infty, 0)\end{array}\right.$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上存在原函数，并求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定连续性条件
要使 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上存在原函数，$f(x)$ 必须在 $x=0$ 处连续。计算左极限：$\lim_{x\to 0^-} f(x) = \arctan 0 + k = k$。右极限：$\lim_{x\to 0^+} f(x) = \frac{1}{(0^2+1)^2} - \sin 0 = 1$。令 $k=1$ 得连续。
提示：注意原函数存在要求函数连续，但连续是充分条件，此处由分段函数定义需保证连续性。
步骤 2/7
目标：求 $x<0$ 时的原函数
当 $x<0$ 时，$f(x)=\arctan x+1$。积分得：$\int (\arctan x+1) dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + x + C_1$。
公式：$\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C$
提示：注意 $\arctan x$ 的积分公式，以及 $\ln(1+x^2)$ 的系数。
步骤 3/7
目标：求 $x>0$ 时的原函数第一部分
当 $x>0$ 时，$f(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}-\sin x$。先计算 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$。令 $x=\tan t$，则 $dx=\sec^2 t dt$，$\int \frac{\sec^2 t dt}{\sec^4 t} = \int \cos^2 t dt = \frac{1}{2}\int (1+\cos 2t) dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + C$。
公式：$\int \cos^2 t dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\sin 2t + C$
提示：三角换元时注意 $\sec^2 t = 1+\tan^2 t$，化简要仔细。
步骤 4/7
目标：将结果换回 $x$
由 $x=\tan t$，得 $t=\arctan x$，$\sin 2t = 2\sin t\cos t = 2\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{2x}{1+x^2}$。所以 $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + C$。
公式：$\sin(2\arctan x) = \frac{2x}{1+x^2}$
提示：注意 $\sin 2t$ 的化简，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：求 $x>0$ 时的原函数第二部分
再积分 $\int -\sin x dx = \cos x$。因此 $\int f(x) dx = \frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + \cos x + C_2$。
公式：$\int \sin x dx = -\cos x$
提示：注意负号，$\int -\sin x dx = \cos x$。
步骤 6/7
目标：确定常数使原函数连续
为使原函数在 $x=0$ 处连续，计算 $F(0^-)=\lim_{x\to 0^-} (x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + x + C_1) = C_1$，$F(0^+)=\lim_{x\to 0^+} (\frac{1}{2}\arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + \cos x + C_2) = 1 + C_2$。令 $C_1 = 1 + C_2$，取 $C_2=0$，则 $C_1=1$。
提示：注意 $\lim_{x\to 0} \frac{x}{1+x^2}=0$，$\lim_{x\to 0} \cos x=1$。
步骤 7/7
目标：写出原函数表达式
因此，原函数为：$$F(x) = \begin{cases} x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + x + 1, & x < 0 \\ \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(1+x^2)} + \cos x, & x \geq 0 \end{cases}$$ 且 $\int f(x) dx = F(x) + C$。
提示：注意分段函数在 $x=0$ 处的取值，$F(0)=1$。
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