山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n+x}{x^{2}+n^{2}}$ 的条件收敛域、绝对收敛域、一致收玫域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将级数拆分为两部分以便分别分析
原级数可写为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n + x}{x^2 + n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{x^2 + n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 + n^2}
\]
分别记作级数 (I) 和 (II)。
公式：\frac{(-1)^n n + x}{x^2 + n^2} = \frac{(-1)^n n}{x^2 + n^2} + \frac{x}{x^2 + n^2}
提示：拆分后注意两部分收敛性不同，需独立判断。
步骤 2/8
目标：分析绝对收敛性
考虑通项的绝对值：
\[
\left| \frac{(-1)^n n + x}{x^2 + n^2} \right| \ge \frac{n - |x|}{x^2 + n^2} \quad (n \text{充分大})
\]
当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{n - |x|}{x^2 + n^2} \sim \frac{1}{n}\)，而调和级数发散，故由比较判别法，对任意实数 \(x\)，绝对值级数发散。因此绝对收敛域为空集。
公式：\left| \frac{(-1)^n n + x}{x^2 + n^2} \right| \sim \frac{1}{n} \quad (n \to \infty)
提示：注意分子中 \((-1)^n n\) 占主导，绝对值下无法抵消，故绝对收敛不可能。
步骤 3/8
目标：分析级数 (I) 的条件收敛性
级数 (I) 为交错级数：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{x^2 + n^2}
\]
令 \(a_n(x) = \frac{n}{x^2 + n^2}\)，对固定 \(x\)，当 \(n\) 充分大时 \(a_n(x)\) 单调递减趋于 0。由莱布尼茨判别法，该级数对每个实数 \(x\) 收敛。
公式：a_n(x) = \frac{n}{x^2 + n^2} \searrow 0 \quad (n \to \infty)
提示：莱布尼茨判别法要求单调递减，需验证 \(a_n(x)\) 对充分大的 \(n\) 单调。
步骤 4/8
目标：分析级数 (II) 的收敛性
级数 (II) 为：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^2 + n^2}
\]
当 \(x = 0\) 时，通项为 0，级数收敛。当 \(x \neq 0\) 时，\(\left| \frac{x}{x^2 + n^2} \right| \le \frac{|x|}{n^2}\)，而 \(\sum \frac{|x|}{n^2}\) 收敛，故级数 (II) 绝对收敛。因此对任意实数 \(x\)，级数 (II) 收敛。
公式：\left| \frac{x}{x^2 + n^2} \right| \le \frac{|x|}{n^2} \quad (n \ge 1)
提示：注意 \(x=0\) 时级数退化为 0，需单独讨论。
步骤 5/8
目标：确定条件收敛域
由前两步，级数 (I) 和 (II) 对每个实数 \(x\) 都收敛，故原级数在 \(\mathbb{R}\) 上逐点收敛。但已证绝对收敛域为空，因此原级数在 \(\mathbb{R}\) 上处处条件收敛。条件收敛域为 \(\mathbb{R}\)。
公式：\text{条件收敛域} = \mathbb{R}
提示：条件收敛要求逐点收敛但不绝对收敛，此处已满足。
步骤 6/8
目标：分析级数 (I) 的一致收敛性
级数 (I) 为交错级数，由莱布尼茨判别法，余项估计为：
\[
\left| R_N(x) \right| \le a_{N+1}(x) = \frac{N+1}{x^2 + (N+1)^2} \le \frac{1}{N+1}
\]
该上界与 \(x\) 无关，故级数 (I) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛。
公式：\left| R_N(x) \right| \le \frac{1}{N+1}
提示：一致收敛的判别常用余项估计，此处上界与 \(x\) 无关是关键。
步骤 7/8
目标：分析级数 (II) 的一致收敛性
考虑任意有界闭区间 \([a, b]\)，令 \(M = \max\{|a|, |b|\}\)，则对 \(x \in [a, b]\) 有：
\[
\left| \frac{x}{x^2 + n^2} \right| \le \frac{M}{n^2}
\]
而 \(\sum \frac{M}{n^2}\) 收敛，由 Weierstrass M-判别法，级数 (II) 在 \([a, b]\) 上一致收敛。但在整个 \(\mathbb{R}\) 上，当 \(|x| \to \infty\) 时，首项 \(\frac{x}{x^2+1} \sim \frac{1}{x}\) 趋于 0 但无统一控制，故不一致收敛。
公式：\left| \frac{x}{x^2 + n^2} \right| \le \frac{M}{n^2} \quad (x \in [a, b])
提示：一致收敛性依赖于区间有界性，无界区间上无法找到统一的控制级数。
步骤 8/8
目标：综合一致收敛域
级数 (I) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致收敛，级数 (II) 在任意有界闭区间上一致收敛，故原级数在任意有界闭区间上一致收敛，但在整个 \(\mathbb{R}\) 上不一致收敛。一致收敛域为所有有界闭区间（即对任意 \(a < b\)，在 \([a, b]\) 上一致收敛）。
公式：\text{一致收敛域} = \text{任意有界闭区间}
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛，无界区间上需额外验证。
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