山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．计算第一类曲面积分： $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中曲面 $\sum$ 是左半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \leq 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确曲面的参数化
曲面是左半球面 $x^2+y^2+z^2=1, y\leq 0$，半径为1。采用球坐标参数化：
$$x = \sin\theta\cos\phi,\quad y = \sin\theta\sin\phi,\quad z = \cos\theta$$
其中 $\theta\in[0,\pi]$，$\phi\in[\pi,2\pi]$（因为 $y\leq0$ 对应 $\sin\phi\leq0$）。
公式：$$x = \sin\theta\cos\phi,\quad y = \sin\theta\sin\phi,\quad z = \cos\theta$$
提示：注意 $\phi$ 的范围是 $[\pi,2\pi]$，不是 $[0,2\pi]$，因为只取左半部分。
步骤 2/8
目标：写出曲面积分公式并确定面积元
第一类曲面积分公式为：
$$\iint_{\Sigma} f(x,y,z)\, dS = \iint_{D} f(\mathbf{r}(\theta,\phi)) \, \|\mathbf{r}_\theta \times \mathbf{r}_\phi\| \, d\theta d\phi$$
对于半径为 $R$ 的球面，面积元为 $dS = R^2\sin\theta\, d\theta d\phi$。这里 $R=1$，所以 $dS = \sin\theta\, d\theta d\phi$。
公式：$$dS = \sin\theta\, d\theta d\phi$$
提示：球面面积元公式 $dS = R^2\sin\theta\, d\theta d\phi$ 是常用结论，可直接使用。
步骤 3/8
目标：将被积函数用参数表示并写出积分
被积函数 $x+y+z = \sin\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi + \cos\theta$。代入积分得：
$$I = \int_{\phi=\pi}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} (\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi + \cos\theta) \sin\theta\, d\theta d\phi$$
公式：$$I = \int_{\pi}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi + \cos\theta) \sin\theta\, d\theta d\phi$$
提示：注意将 $dS$ 替换为 $\sin\theta\, d\theta d\phi$，不要遗漏因子。
步骤 4/8
目标：将积分拆分为三个部分
将积分拆成三项：
$$I = \int_{\pi}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta\cos\phi\, d\theta d\phi + \int_{\pi}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin^2\theta\sin\phi\, d\theta d\phi + \int_{\pi}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \sin\theta\cos\theta\, d\theta d\phi$$
公式：$$I = I_1 + I_2 + I_3$$
提示：拆分后分别计算，注意每个积分中 $\theta$ 和 $\phi$ 的独立性。
步骤 5/8
目标：计算第一项积分 I₁
先计算 $\theta$ 部分：$\int_0^\pi \sin^2\theta\, d\theta = \frac{\pi}{2}$。
则 $I_1 = \frac{\pi}{2} \int_\pi^{2\pi} \cos\phi\, d\phi$。
计算 $\int_\pi^{2\pi} \cos\phi\, d\phi = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0$，所以 $I_1 = 0$。
公式：$$\int_0^\pi \sin^2\theta\, d\theta = \frac{\pi}{2},\quad \int_\pi^{2\pi} \cos\phi\, d\phi = 0$$
提示：$\sin^2\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上的积分常用公式 $\int_0^\pi \sin^2\theta\, d\theta = \frac{\pi}{2}$。
步骤 6/8
目标：计算第二项积分 I₂
$\theta$ 部分相同：$\int_0^\pi \sin^2\theta\, d\theta = \frac{\pi}{2}$。
则 $I_2 = \frac{\pi}{2} \int_\pi^{2\pi} \sin\phi\, d\phi$。
计算 $\int_\pi^{2\pi} \sin\phi\, d\phi = [-\cos\phi]_\pi^{2\pi} = (-\cos2\pi) - (-\cos\pi) = (-1) - (1) = -2$。
所以 $I_2 = \frac{\pi}{2} \times (-2) = -\pi$。
公式：$$\int_\pi^{2\pi} \sin\phi\, d\phi = -2,\quad I_2 = -\pi$$
提示：注意 $\cos\pi = -1$，$\cos2\pi = 1$，代入时小心符号。
步骤 7/8
目标：计算第三项积分 I₃
先计算 $\theta$ 部分：$\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\int_0^\pi \sin2\theta\, d\theta = \frac{1}{2}\left[-\frac{\cos2\theta}{2}\right]_0^\pi = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}(\cos2\pi - \cos0)\right) = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}(1-1)\right) = 0$。
因此 $I_3 = \int_\pi^{2\pi} 0\, d\phi = 0$。
公式：$$\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta\, d\theta = 0$$
提示：也可由对称性直接得出：$\sin\theta\cos\theta$ 在 $[0,\pi]$ 上关于 $\theta=\pi/2$ 奇对称，积分为0。
步骤 8/8
目标：求和得到最终结果
三项相加：$I = I_1 + I_2 + I_3 = 0 + (-\pi) + 0 = -\pi$。
公式：$$\iint_{\Sigma}(x+y+z)\, dS = -\pi$$
提示：最终结果为负数，说明被积函数在左半球面上整体贡献为负，这是合理的，因为 $y\leq0$ 使得 $y$ 部分贡献为负。
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