山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．比较下列无穷大量。
（1）$x$ 与 $(\ln x)^{100},(x \rightarrow+\infty)$ ．
（2）$(\ln x)^{100}$ 与 $\displaystyle e^{(\ln x)^{\frac{1}{100}}},(x \rightarrow+\infty)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：比较 x 与 (ln x)^100 的增长速度
考虑极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{x}$。令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$，极限化为 $\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^t}$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^t}$
提示：注意换元后自变量的变化趋势，不要混淆变量。
步骤 2/5
目标：计算极限并得出结论（1）
由于指数函数 $e^t$ 的增长速度远快于任何幂函数 $t^{100}$，因此 $\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^t} = 0$。所以 $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{x} = 0$，说明 $x$ 是比 $(\ln x)^{100}$ 更高阶的无穷大量。
公式：$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^t} = 0$
提示：幂函数与指数函数的增长速度比较是常见考点，指数函数占优。
步骤 3/5
目标：比较 (ln x)^100 与 e^{(ln x)^{1/100}} 的增长速度
考虑极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{e^{(\ln x)^{1/100}}}$。令 $t = \ln x$，则 $t \to +\infty$，极限化为 $\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}}$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^{100}}{e^{(\ln x)^{1/100}}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}}$
提示：换元后分母是指数函数，但指数是 t 的 1/100 次方，属于亚指数增长。
步骤 4/5
目标：取对数分析极限趋势
取对数：$\ln\left(\frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}}\right) = 100\ln t - t^{1/100}$。当 $t \to +\infty$ 时，$t^{1/100}$ 的增长速度最终超过 $100\ln t$，因此 $100\ln t - t^{1/100} \to -\infty$，从而原比值趋于 0。
公式：$\ln\left(\frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}}\right) = 100\ln t - t^{1/100} \to -\infty$
提示：当直接比较困难时，取对数可以简化问题，注意对数函数的单调性。
步骤 5/5
目标：得出结论（2）
由 $\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}} = 0$ 可知，$e^{(\ln x)^{1/100}}$ 是比 $(\ln x)^{100}$ 更高阶的无穷大量。
公式：$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^{100}}{e^{t^{1/100}}} = 0$
提示：即使指数部分增长较慢，指数函数仍然最终占优。
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