山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．计算含参积分：$\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参积分并求导
设 $I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$，对参数 $a$ 求导，利用 Leibniz 法则交换积分与求导顺序：
$$I'(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial a}\left(\frac{\arctan(ax)}{x(1+x^2)}\right) \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x^2)} \cdot \frac{x}{1+a^2 x^2} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)}$$
公式：I'(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)}
提示：注意求导时 $\frac{\partial}{\partial a}\arctan(ax)=\frac{x}{1+a^2x^2}$，分母中的 $x$ 恰好约去，简化了积分。
步骤 2/5
目标：将有理函数分解为部分分式
利用恒等式（当 $a \neq 1$ 时）：
$$\frac{1}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)} = \frac{1}{1-a^2}\left(\frac{1}{1+x^2} - \frac{a^2}{1+a^2 x^2}\right)$$
代入得：
$$I'(a) = \frac{1}{1-a^2} \int_{0}^{+\infty} \left(\frac{1}{1+x^2} - \frac{a^2}{1+a^2 x^2}\right) \mathrm{d}x$$
公式：\frac{1}{(1+x^2)(1+a^2 x^2)} = \frac{1}{1-a^2}\left(\frac{1}{1+x^2} - \frac{a^2}{1+a^2 x^2}\right)
提示：分解时注意分母 $1-a^2$ 不能为零，$a=1$ 需单独处理，但最终结果连续。
步骤 3/5
目标：计算两个标准积分
计算两个无穷积分：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}$$
对于第二个积分，令 $u = a x$，则 $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}u}{a}$：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{a^2}{1+a^2 x^2} \mathrm{d}x = a^2 \cdot \frac{1}{a} \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2} = a \cdot \frac{\pi}{2}$$
因此：
$$I'(a) = \frac{1}{1-a^2} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{a\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1-a}{1-a^2}$$
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{+\infty} \frac{a^2}{1+a^2 x^2} \mathrm{d}x = \frac{a\pi}{2}
提示：注意 $a>0$ 时换元 $u=ax$ 有效，若 $a<0$ 需考虑绝对值，但最终结果可由奇偶性得到。
步骤 4/5
目标：化简导数表达式并积分
化简 $\frac{1-a}{1-a^2} = \frac{1-a}{(1-a)(1+a)} = \frac{1}{1+a}$，得到：
$$I'(a) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1+a}$$
对 $a$ 积分：
$$I(a) = \frac{\pi}{2} \int \frac{\mathrm{d}a}{1+a} = \frac{\pi}{2} \ln(1+a) + C$$
利用初始条件 $I(0)=0$ 确定常数 $C$：
$$0 = \frac{\pi}{2} \ln(1+0) + C \Rightarrow C = 0$$
故当 $a>0$ 时，$I(a) = \frac{\pi}{2} \ln(1+a)$。
公式：I(a) = \frac{\pi}{2} \ln(1+a), \quad a>0
提示：常数 $C$ 由 $a=0$ 时积分值为零确定，注意 $\ln(1+a)$ 在 $a=0$ 处为零。
步骤 5/5
目标：推广到一般实数 $a$
由于 $\arctan(ax)$ 是 $a$ 的奇函数，且分母与 $a$ 无关，故 $I(-a) = -I(a)$。因此对任意实数 $a$，有：
$$I(a) = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a) \ln(1+|a|)$$
其中 $\operatorname{sgn}(a)$ 为符号函数。特别地，当 $a>0$ 时即为 $\frac{\pi}{2}\ln(1+a)$。
公式：I(a) = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a) \ln(1+|a|)
提示：注意 $a<0$ 时 $\ln(1+a)$ 无定义，需用绝对值形式；积分收敛性要求 $a$ 为任意实数。
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