山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数 $z=z(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，求
$$
z-x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y} .
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确变量关系，引入中间变量
已知方程 $F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$，其中 $z=z(x,y)$ 是由该方程确定的隐函数。令 $u = x + \frac{z}{y}$，$v = y + \frac{z}{x}$，则方程化为 $F(u,v)=0$。
公式：$u = x + \frac{z}{y},\quad v = y + \frac{z}{x}$
提示：注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数，因此 $u,v$ 也是 $x,y$ 的函数。
步骤 2/8
目标：对 $x$ 求偏导，得到第一个方程
方程 $F(u,v)=0$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x,y$ 的函数：
$\frac{\partial u}{\partial x} = 1 + \frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial x}$，
$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{x\frac{\partial z}{\partial x} - z}{x^2}$。
由链式法则：$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0$，代入得：
$F_u \left(1 + \frac{z_x}{y}\right) + F_v \cdot \frac{x z_x - z}{x^2} = 0$，其中 $z_x = \frac{\partial z}{\partial x}$。
公式：$F_u \left(1 + \frac{z_x}{y}\right) + F_v \cdot \frac{x z_x - z}{x^2} = 0$
提示：对 $v = y + \frac{z}{x}$ 求导时，$y$ 视为常数，注意商的求导法则。
步骤 3/8
目标：对 $y$ 求偏导，得到第二个方程
方程 $F(u,v)=0$ 两边对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y z_y - z}{y^2}$，其中 $z_y = \frac{\partial z}{\partial y}$，
$\frac{\partial v}{\partial y} = 1 + \frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial y}$。
由链式法则：$F_u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + F_v \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0$，代入得：
$F_u \cdot \frac{y z_y - z}{y^2} + F_v \left(1 + \frac{z_y}{x}\right) = 0$。
公式：$F_u \cdot \frac{y z_y - z}{y^2} + F_v \left(1 + \frac{z_y}{x}\right) = 0$
提示：对 $u = x + \frac{z}{y}$ 求导时，$x$ 视为常数，注意商的求导法则。
步骤 4/8
目标：消去 $F_u, F_v$，建立 $z_x$ 与 $z_y$ 的关系
将两个方程视为关于 $F_u, F_v$ 的齐次线性方程组，由非零解条件得比值相等。由第一个方程：$\frac{F_u}{F_v} = -\frac{ (x z_x - z)/x^2 }{ 1 + z_x/y }$；由第二个方程：$\frac{F_u}{F_v} = -\frac{ 1 + z_y/x }{ (y z_y - z)/y^2 }$。令两者相等，得：
$\frac{ (x z_x - z)/x^2 }{ 1 + z_x/y } = \frac{ 1 + z_y/x }{ (y z_y - z)/y^2 }$。
公式：$\frac{ (x z_x - z)/x^2 }{ 1 + z_x/y } = \frac{ 1 + z_y/x }{ (y z_y - z)/y^2 }$
提示：注意分母不为零，且 $x,y \neq 0$。
步骤 5/8
目标：化简等式，交叉相乘
将等式两边化简：左边 $= \frac{x z_x - z}{x^2} \cdot \frac{y}{y+z_x}$，右边 $= \frac{x+z_y}{x} \cdot \frac{y^2}{y z_y - z}$。交叉相乘得：
$(x z_x - z)(y z_y - z) \cdot x y = x^2 y^2 (y+z_x)(x+z_y)$，两边约去 $xy$（假设 $x,y \neq 0$）得：
$(x z_x - z)(y z_y - z) = x y (y+z_x)(x+z_y)$。
公式：$(x z_x - z)(y z_y - z) = x y (y+z_x)(x+z_y)$
提示：约去 $xy$ 时需注意 $x,y$ 非零，否则需单独讨论。
步骤 6/8
目标：展开并移项合并
左边展开：$x y z_x z_y - x z_x z - y z_y z + z^2$。右边展开：$x y (xy + x z_y + y z_x + z_x z_y) = x^2 y^2 + x y^2 z_y + x^2 y z_x + x y z_x z_y$。两边相减（左减右）得：
$(x y z_x z_y - x z_x z - y z_y z + z^2) - (x^2 y^2 + x y^2 z_y + x^2 y z_x + x y z_x z_y) = 0$，
抵消 $x y z_x z_y$ 项后整理得：
$- x z_x z - y z_y z + z^2 - x^2 y^2 - x y^2 z_y - x^2 y z_x = 0$。
公式：$- x z_x z - y z_y z + z^2 - x^2 y^2 - x y^2 z_y - x^2 y z_x = 0$
提示：展开时注意各项符号，避免遗漏。
步骤 7/8
目标：分组提取公因子，得到目标表达式
将含 $z_x$ 的项合并：$-x z_x (z + xy)$；含 $z_y$ 的项合并：$-y z_y (z + xy)$；常数项：$z^2 - x^2 y^2 = (z - xy)(z + xy)$。代入得：
$-(z+xy)(x z_x + y z_y) + (z - xy)(z+xy) = 0$，
提取公因子 $(z+xy)$：$(z+xy)[(z - xy) - (x z_x + y z_y)] = 0$。
公式：$(z+xy)[(z - xy) - (x z_x + y z_y)] = 0$
提示：注意 $z^2 - x^2 y^2$ 的因式分解。
步骤 8/8
目标：得出结论
一般情况下 $z+xy \neq 0$，因此 $z - xy - x z_x - y z_y = 0$，即 $z - x z_x - y z_y = xy$。
公式：$z - x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = xy$
提示：若 $z+xy=0$，则需单独验证，但通常题目默认一般情况。
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