山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．设二元连续可微函数 $\mathbf{F}$ 在直角坐标下可写为
$$
F(x, y)=g(y) f(x),
$$
在极坐标系可写为
$$
F(r \cos \theta, r \sin \theta)=h(r),
$$
若 $F(x, y)$ 无零点，求 $F(x, y)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将直角坐标与极坐标条件结合，建立函数关系
由极坐标形式，$F(r\cos\theta, r\sin\theta) = h(r)$，取 $\theta=0$ 得 $F(r,0)=h(r)$；由直角坐标形式 $F(x,y)=g(y)f(x)$，得 $F(r,0)=g(0)f(r)$，故 $h(r)=g(0)f(r)$。再取 $\theta=\pi/2$，得 $F(0,r)=h(r)$，同时 $F(0,r)=g(r)f(0)$，故 $h(r)=f(0)g(r)$。比较得 $g(0)f(r)=f(0)g(r)$。
公式：g(0)f(r) = f(0)g(r)
提示：注意 $F$ 无零点，因此 $f(0)$ 和 $g(0)$ 均不为零，可作除法。
步骤 2/5
目标：推导 $f$ 与 $g$ 的比例关系
由 $g(0)f(r)=f(0)g(r)$，且 $f(0),g(0)\neq 0$，可得 $\frac{f(r)}{f(0)} = \frac{g(r)}{g(0)}$。令比例常数为 $C = \frac{g(0)}{f(0)}$，则 $g(r)=C f(r)$。于是 $F(x,y)=g(y)f(x)=C f(y)f(x)$。
公式：g(r) = C f(r), \quad C = \frac{g(0)}{f(0)} \neq 0
提示：比例常数 $C$ 非零，因为 $F$ 无零点。
步骤 3/5
目标：代入极坐标条件得到函数方程
将 $F(x,y)=C f(x)f(y)$ 代入极坐标形式：$C f(r\cos\theta)f(r\sin\theta)=h(r)$。而 $h(r)=g(0)f(r)=C f(0)f(r)$，约去 $C\neq 0$ 得：$f(r\cos\theta)f(r\sin\theta)=f(0)f(r)$。令 $u=r\cos\theta, v=r\sin\theta$，则 $r=\sqrt{u^2+v^2}$，方程化为 $f(u)f(v)=f(0)f\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)$，对所有实数 $u,v$ 成立。
公式：f(u)f(v) = f(0) f\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)
提示：注意 $f$ 连续可微且无零点，可对等式取对数处理。
步骤 4/5
目标：通过变量代换求解函数方程
令 $\varphi(t)=\ln|f(t)|$，则方程化为 $\varphi(u)+\varphi(v)=\varphi(0)+\varphi\left(\sqrt{u^2+v^2}\right)$。令 $v=0$ 得 $\varphi(u)=\varphi(|u|)$，故 $\varphi$ 为偶函数。再令 $g(t)=\varphi(\sqrt{t})\;(t\geq 0)$，则方程变为 $g(u^2)+g(v^2)=g(0)+g(u^2+v^2)$。这是柯西型方程，解为 $g(t)=at+b$，其中 $a,b$ 为常数。于是 $\varphi(r)=a r^2+b\;(r\geq 0)$，由偶性得 $\varphi(t)=a t^2+b$ 对所有实数 $t$ 成立。因此 $f(t)=\pm e^b e^{a t^2}=A e^{k t^2}$，其中 $A\neq 0$，$k=a$ 为实常数。
公式：f(t) = A e^{k t^2}, \quad A \neq 0, k \in \mathbb{R}
提示：注意 $f$ 无零点保证了指数形式，符号可并入常数 $A$。
步骤 5/5
目标：回代得到 $F(x,y)$ 的表达式
由 $F(x,y)=C f(x)f(y)=C A^2 e^{k(x^2+y^2)}$。令 $D=C A^2 \neq 0$，则 $F(x,y)=D e^{k(x^2+y^2)}$。此函数在极坐标下为 $h(r)=D e^{k r^2}$，满足径向对称性。
公式：F(x,y) = D e^{k(x^2+y^2)}, \quad D \neq 0, k \in \mathbb{R}
提示：常数 $D$ 和 $k$ 为任意实数，$D$ 非零。
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