山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 内闭一致收敛，证明： $f_{n}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和目标
函数列定义为 $f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^x}$，定义域为 $(1,+\infty)$。已知条件：$f_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上内闭一致收敛，即对任意闭区间 $[a,b]\subset(1,+\infty)$，$f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。要证明：$f_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：内闭一致收敛定义：$\forall [a,b]\subset(1,+\infty), \forall \varepsilon>0, \exists N(\varepsilon,[a,b]), \forall n>N, \forall x\in[a,b], |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
提示：注意内闭一致收敛中的 $N$ 依赖于区间，而整体一致收敛要求 $N$ 与 $x$ 无关。
步骤 2/5
目标：分析函数列的性质与极限函数
对固定的 $x>1$，级数 $\sum_{k=1}^\infty 1/k^x$ 收敛，极限函数为黎曼 $\zeta$ 函数：$f(x)=\sum_{k=1}^\infty 1/k^x$。每个 $f_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续且关于 $n$ 单调递增。余项为 $R_n(x)=f(x)-f_n(x)=\sum_{k=n+1}^\infty 1/k^x$。要证整体一致收敛，即 $R_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致趋于 $0$。
公式：$R_n(x)=\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^x}, \quad x>1$
提示：余项 $R_n(x)$ 关于 $x$ 单调递减，关于 $n$ 单调递减。
步骤 3/5
目标：尝试用积分估计余项
对固定的 $x>1$，用积分放缩：$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^x} \le \int_n^\infty \frac{dt}{t^x} = \frac{n^{1-x}}{x-1}$。当 $x\to 1^+$ 时，$\frac{n^{1-x}}{x-1} \to +\infty$，因此该上界不能给出整体一致估计。这说明直接积分放缩无法证明一致收敛。
公式：$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^x} \le \frac{n^{1-x}}{x-1}$
提示：该上界在 $x$ 靠近 $1$ 时发散，提示可能不一致收敛。
步骤 4/5
目标：构造反例证明命题不成立
取 $\varepsilon=1$。对任意大的 $N$，取 $n>\max(N, e^e)$，并令 $x=1+\frac{1}{\ln n}$（注意 $x>1$）。用积分近似：$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^{1+1/\ln n}} \approx \int_n^\infty \frac{dt}{t^{1+1/\ln n}} = \frac{n^{-1/\ln n}}{1/\ln n} = \frac{e^{-1}}{1/\ln n} = \frac{\ln n}{e}$。当 $n$ 足够大时，$\frac{\ln n}{e}>1$，因此 $R_n(x)>1$。这表明对任意 $N$，存在 $n>N$ 和 $x>1$ 使得 $|f_n(x)-f(x)|\ge 1$，故不一致收敛。
公式：$x=1+\frac{1}{\ln n}, \quad R_n(x)\approx \frac{\ln n}{e}$
提示：关键：当 $x$ 充分靠近 $1$ 时，级数尾部衰减极慢，无法用统一的 $N$ 控制。
步骤 5/5
目标：得出结论
原命题不成立。函数列 $f_n(x)=\sum_{k=1}^n 1/k^x$ 在 $(1,+\infty)$ 上内闭一致收敛，但在整个区间上不一致收敛。反例表明，靠近 $x=1$ 的区域是阻碍整体一致收敛的根源。
公式：无
提示：内闭一致收敛不能推出整体一致收敛，除非区间是紧集或函数列有额外单调性且极限函数连续（如Dini定理），但这里区间非紧且极限函数无界。
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