山东大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明：
$$
\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x
$$
并求： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin ^{2 n} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明恒等式 ∫₀^π x f(sin x) dx = (π/2) ∫₀^π f(sin x) dx
令 $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx$。作变量代换 $t = \pi - x$，则 $x = \pi - t$，$dx = -dt$，当 $x=0$ 时 $t=\pi$，当 $x=\pi$ 时 $t=0$。代入得：
$$I = \int_{\pi}^{0} (\pi - t) f(\sin(\pi - t)) \, (-dt) = \int_{0}^{\pi} (\pi - t) f(\sin t) \, dt$$
由于 $\sin(\pi - t) = \sin t$，且积分变量可重命名为 $x$，故有：
$$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) \, dx$$
将两个表达式相加：
$$2I = \int_{0}^{\pi} [x + (\pi - x)] f(\sin x) \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx$$
因此 $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx$，恒等式得证。
公式：\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \, dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \, dx
提示：注意代换后积分限的变化，以及 $\sin(\pi - x) = \sin x$ 这一关键性质。
步骤 2/5
目标：将待求积分代入恒等式
设 $J = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx$。令 $f(\sin x) = \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x}$，注意 $\cos^{2n} x = (1-\sin^2 x)^n$，故 $f$ 确为 $\sin x$ 的函数，满足恒等式条件。由已证恒等式得：
$$J = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx$$
公式：J = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx
提示：确认 $f$ 仅依赖于 $\sin x$，这是应用恒等式的关键。
步骤 3/5
目标：利用对称性化简积分区间
考虑积分 $K = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx$。作代换 $t = \pi - x$，则 $\sin(\pi - x) = \sin x$，$\cos(\pi - x) = -\cos x$，由于指数 $2n$ 为偶数，$\cos^{2n}(\pi - x) = \cos^{2n} x$，故被积函数不变，积分区间折半：
$$K = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx$$
公式：\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx
提示：注意 $\cos(\pi - x) = -\cos x$，但偶次幂消去了负号。
步骤 4/5
目标：利用互补对称性求 [0, π/2] 上的积分值
令 $L = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx$。作代换 $u = \frac{\pi}{2} - x$，则 $\sin x = \cos u$，$\cos x = \sin u$，$dx = -du$，积分限互换后得：
$$L = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^{2n} u}{\cos^{2n} u + \sin^{2n} u} \, du$$
因此 $L$ 也等于分母交换后的积分。将两个表达式相加：
$$2L = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$$
解得 $L = \frac{\pi}{4}$。
公式：\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx = \frac{\pi}{4}
提示：利用 $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$ 和 $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$ 的对称性。
步骤 5/5
目标：代回计算最终结果
由第三步得 $K = 2L = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。再由第二步：
$$J = \frac{\pi}{2} \cdot K = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$$
故所求积分为 $\frac{\pi^2}{4}$。
公式：\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin^{2n} x}{\sin^{2n} x + \cos^{2n} x} \, dx = \frac{\pi^2}{4}
提示：注意逐步代入，避免计算错误。
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