山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设函数 $g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足
$$
g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2 a
$$
设 $\displaystyle f(x)=\frac{g(x)}{x},(x \neq 0), f(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确求导定义，将问题转化为极限计算
由于 $f(0)=0$，根据导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{g(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}.
$$
公式：f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}
提示：注意 $f(0)$ 是单独定义的，不能直接对 $\frac{g(x)}{x}$ 求导再代入 $x=0$，必须用定义。
步骤 2/4
目标：利用已知条件对 $g(x)$ 进行泰勒展开
由 $g(0)=0$，$g'(0)=0$，$g''(0)=2a$，且 $g$ 二阶连续可微，在 $x=0$ 处带 Peano 余项的泰勒公式为：
$$
g(x) = g(0) + g'(0)x + \frac{g''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = 0 + 0 + \frac{2a}{2}x^2 + o(x^2) = a x^2 + o(x^2).
$$
公式：g(x) = a x^2 + o(x^2)
提示：注意 $g''(0)=2a$，展开时系数为 $\frac{g''(0)}{2}=a$，不要遗漏分母 $2$。
步骤 3/4
目标：代入极限并求值
将展开式代入极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{a x^2 + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( a + \frac{o(x^2)}{x^2} \right) = a + 0 = a.
$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = a
提示：$\frac{o(x^2)}{x^2} \to 0$ 是 Peano 余项的性质，注意 $o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此，$f'(0) = a$。
公式：f'(0) = a
提示：最终结果是一个常数 $a$，与题目中 $g''(0)=2a$ 的 $a$ 一致。
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