山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换简化积分
令 $x = \tan t$，则当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$。计算微分：$dx = \sec^2 t \, dt$，且 $1 + x^2 = 1 + \tan^2 t = \sec^2 t$。代入原积分：
$$I = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{\sec^2 t} \cdot \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, dt$$
公式：$x = \tan t$, $dx = \sec^2 t \, dt$, $1+x^2 = \sec^2 t$
提示：注意 $\sec^2 t$ 在分母和微分中恰好约去，简化了积分形式。
步骤 2/4
目标：利用对称性进行第二次变量替换
令 $t = \frac{\pi}{4} - u$，则当 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{4}$ 时，$u$ 从 $\frac{\pi}{4}$ 到 $0$，且 $dt = -du$。代入得：
$$I = \int_{\pi/4}^{0} \ln\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) (-du) = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) du$$
公式：$t = \frac{\pi}{4} - u$, $dt = -du$
提示：注意积分限变换时符号的处理，确保最终积分方向正确。
步骤 3/4
目标：化简被积函数中的对数表达式
利用正切差角公式：$\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right) = \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}$。则：
$$1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right) = 1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} = \frac{(1+\tan u) + (1-\tan u)}{1+\tan u} = \frac{2}{1+\tan u}$$
取对数得：
$$\ln\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan u)$$
公式：$\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right) = \frac{1-\tan u}{1+\tan u}$, $\ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan u)$
提示：化简时注意分式加法，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：将两个表达式相加求解积分
由第一步得：$I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, dt$。由第二步和第三步得：$I = \int_{0}^{\pi/4} [\ln 2 - \ln(1+\tan u)] \, du$。由于积分变量名称无关，将两式相加：
$$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln 2 \, dt = \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4}$$
因此：
$$I = \frac{\pi}{8} \ln 2$$
公式：$2I = \int_{0}^{\pi/4} \ln 2 \, dt = \frac{\pi}{4} \ln 2$, $I = \frac{\pi}{8} \ln 2$
提示：注意两个表达式中的变量 $t$ 和 $u$ 只是记号不同，积分值相同，相加时消去含对数的部分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。