山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}\right\}, ~ t>0$ ．
（1）计算 $F^{\prime}(t)$
（2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{5}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将三重积分转化为球坐标下的累次积分
由于积分区域 $\Omega$ 是半径为 $t$ 的球体，被积函数只依赖于 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，采用球坐标变换：
$x = r\sin\theta\cos\phi,\ y = r\sin\theta\sin\phi,\ z = r\cos\theta$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。
积分区域：$r$ 从 $0$ 到 $t$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$。于是
$$F(t) = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^t f(r^2)\,r^2\,\mathrm{d}r.$$
公式：$F(t) = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^t f(r^2) r^2\,\mathrm{d}r$
提示：注意球坐标下体积元中的 $r^2$ 因子不可遗漏，角度部分积分结果需正确计算。
步骤 2/6
目标：计算角度部分的积分，简化表达式
角度部分积分独立于 $r$：
$$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi = 2\pi,\quad \int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 2.$$
相乘得 $4\pi$，因此
$$F(t) = 4\pi \int_0^t f(r^2)\,r^2\,\mathrm{d}r.$$
公式：$F(t) = 4\pi \int_0^t f(r^2) r^2\,\mathrm{d}r$
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是球体表面积公式的积分形式，可记忆为球坐标下径向积分的系数。
步骤 3/6
目标：利用微积分基本定理求导，得到 $F'(t)$
由微积分基本定理，对积分上限 $t$ 求导：
$$F'(t) = 4\pi \cdot f(t^2) \cdot t^2.$$
公式：$F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$
提示：求导时注意被积函数中的 $r$ 被替换为上限 $t$，且 $r^2$ 变为 $t^2$，不要遗漏因子。
步骤 4/6
目标：处理第二问的极限，应用洛必达法则
求极限 $\displaystyle \lim_{t\to 0^+} \frac{F(t)}{t^5}$。由于 $F(0)=0$，$t^5\to 0$，且 $F$ 可导，使用洛必达法则：
$$\lim_{t\to 0^+} \frac{F(t)}{t^5} = \lim_{t\to 0^+} \frac{F'(t)}{5t^4} = \lim_{t\to 0^+} \frac{4\pi t^2 f(t^2)}{5t^4} = \frac{4\pi}{5} \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t^2)}{t^2}.$$
公式：$\displaystyle \lim_{t\to 0^+} \frac{F(t)}{t^5} = \frac{4\pi}{5} \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t^2)}{t^2}$
提示：洛必达法则使用前需验证 $0/0$ 型未定式，且导数存在。
步骤 5/6
目标：变量代换并利用 $f'(0)=0$ 计算极限
令 $u = t^2$，则 $t\to 0^+$ 时 $u\to 0^+$，极限化为 $\displaystyle \frac{4\pi}{5} \lim_{u\to 0^+} \frac{f(u)}{u}$。
由 $f$ 可微且 $f'(0)=0$，根据导数定义：$\displaystyle \lim_{u\to 0} \frac{f(u)-f(0)}{u} = f'(0)=0$。
若 $f(0)=0$，则 $\displaystyle \lim_{u\to 0} \frac{f(u)}{u}=0$；若 $f(0)\neq 0$，则极限发散。题目隐含 $f(0)=0$（否则极限无有限值），故极限为 $0$。
公式：$\displaystyle \lim_{u\to 0^+} \frac{f(u)}{u} = f'(0) = 0$（当 $f(0)=0$）
提示：注意 $f'(0)=0$ 仅给出 $f(u)-f(0)$ 是 $u$ 的高阶无穷小，需额外假设 $f(0)=0$ 才能得到有限极限，这是本题的隐含条件。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
综合以上步骤：
(1) $F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$；
(2) $\displaystyle \lim_{t\to 0^+} \frac{F(t)}{t^5} = 0$。
公式：无
提示：最终答案需明确写出两个小问的结果，注意极限为 $0$ 依赖于 $f(0)=0$ 的合理假设。
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