山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$ ．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ ．
（2）证明：函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算 f(1-1/(n+1)) 的表达式
令 $b_n = 1 - \frac{1}{n+1}$，代入 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$，得 $f(b_n) = \frac{1}{1 - \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^2}$。计算分母：$1 - \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^2 = 1 - \left(1 - \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{2}{n+1} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{2(n+1)-1}{(n+1)^2} = \frac{2n+1}{(n+1)^2}$。因此 $f(b_n) = \frac{(n+1)^2}{2n+1}$。
公式：$f\left(1-\frac{1}{n+1}\right) = \frac{(n+1)^2}{2n+1}$
提示：注意展开平方时不要遗漏交叉项，化简分母时需通分。
步骤 2/6
目标：计算 f(1-1/n) 的表达式
令 $a_n = 1 - \frac{1}{n}$，同理得 $f(a_n) = \frac{1}{1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)^2}$。分母：$1 - \left(1-\frac{1}{n}\right)^2 = 1 - \left(1 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2} = \frac{2n-1}{n^2}$。因此 $f(a_n) = \frac{n^2}{2n-1}$。
公式：$f\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{n^2}{2n-1}$
提示：与上一步类似，注意符号和通分。
步骤 3/6
目标：计算差值并化简
差值 $f(b_n)-f(a_n) = \frac{(n+1)^2}{2n+1} - \frac{n^2}{2n-1}$。通分，分母为 $(2n+1)(2n-1)=4n^2-1$。分子：$(n+1)^2(2n-1) - n^2(2n+1)$。展开第一项：$(n^2+2n+1)(2n-1)=2n^3+3n^2-1$；第二项：$n^2(2n+1)=2n^3+n^2$。相减得 $(2n^3+3n^2-1)-(2n^3+n^2)=2n^2-1$。因此差值为 $\frac{2n^2-1}{4n^2-1}$。
公式：$f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{2n^2-1}{4n^2-1}$
提示：展开多项式时仔细合并同类项，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：求极限
当 $n \to +\infty$ 时，$\frac{2n^2-1}{4n^2-1} = \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{4 - \frac{1}{n^2}} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-1}{4n^2-1} = \frac{1}{2}$
提示：极限计算时分子分母同除以最高次项 $n^2$。
步骤 5/6
目标：证明不一致连续：选取特定点和 epsilon0
取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{3}$。考虑点列 $x_n = 1-\frac{1}{n}$，$y_n = 1-\frac{1}{n+1}$，则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n(n+1)}$，当 $n$ 充分大时，该距离可以任意小。由第一问，$|f(x_n)-f(y_n)| = \frac{2n^2-1}{4n^2-1}$。当 $n=1$ 时，差值为 $\frac{1}{3}$；且该表达式关于 $n$ 递增（可求导或直接比较），故对所有 $n \ge 1$，有 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \frac{1}{3}$。
公式：$|x_n-y_n| = \frac{1}{n(n+1)}$，$|f(x_n)-f(y_n)| = \frac{2n^2-1}{4n^2-1} \ge \frac{1}{3}$
提示：验证差值的最小值：计算 n=1 时的值，并说明单调性。
步骤 6/6
目标：完成不一致连续的证明
对任意 $\delta > 0$，取 $n$ 足够大使得 $\frac{1}{n(n+1)} < \delta$，则 $|x_n - y_n| < \delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \frac{1}{3} = \varepsilon_0$。因此，存在 $\varepsilon_0 = \frac{1}{3}$，对任意 $\delta>0$，都能找到两点距离小于 $\delta$ 而函数值差大于等于 $\varepsilon_0$，故 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续。
公式：不一致连续定义：$\exists \varepsilon_0>0,\forall \delta>0,\exists x,y\in[0,1), |x-y|<\delta$ 但 $|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon_0$
提示：注意定义中量词的顺序：先存在 epsilon0，再对任意 delta 找到两点。
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