山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、设 $u(x, y, z)$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $\displaystyle T(R)=\frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) \mathrm{d} S, R>0$ ．证明：
（1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ．
（2）若 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ，则
$$
\lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{R^{2}}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \left.\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明极限等于函数值
由函数 $u$ 在点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 处的连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|(x,y,z) - (x_0,y_0,z_0)| < \delta$ 时，有 $|u(x,y,z) - u(x_0,y_0,z_0)| < \varepsilon$。取 $0 < R < \delta$，则整个球面 $\Sigma$ 位于该邻域内。于是有：
$$
|T(R) - u(x_0,y_0,z_0)| = \left| \frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} [u(x,y,z) - u(x_0,y_0,z_0)] \, \mathrm{d}S \right| \leq \frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} |u(x,y,z) - u(x_0,y_0,z_0)| \, \mathrm{d}S < \frac{1}{4\pi R^2} \cdot \varepsilon \cdot 4\pi R^2 = \varepsilon.
$$
因此 $\lim_{R \to 0^+} T(R) = u(x_0,y_0,z_0)$。
公式：|T(R) - u(x_0,y_0,z_0)| < \varepsilon
提示：注意利用球面积分 $\iint_{\Sigma} \mathrm{d}S = 4\pi R^2$ 进行放缩。
步骤 2/5
目标：将函数在球心处泰勒展开
为方便计算，通过平移将球心 $M(x_0,y_0,z_0)$ 设为原点 $O(0,0,0)$。记 $\mathbf{r} = (x,y,z)$，且 $|\mathbf{r}| = R$。将 $u$ 在原点处泰勒展开到二阶：
$$
u(\mathbf{r}) = u(0) + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial u}{\partial x_i}(0) \, x_i + \frac12 \sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(0) \, x_i x_j + o(R^2),
$$
其中 $o(R^2)$ 表示当 $R \to 0$ 时余项除以 $R^2$ 趋于零。
公式：u(\mathbf{r}) = u(0) + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial u}{\partial x_i}(0) \, x_i + \frac12 \sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}(0) \, x_i x_j + o(R^2)
提示：泰勒展开是处理球面平均值问题的关键，注意余项的处理。
步骤 3/5
目标：计算一次项在球面上的平均值
由于球面对称性，对于每个坐标 $x_i$，其在球面 $\Sigma$ 上的积分正负抵消，因此：
$$
\frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} x_i \, \mathrm{d}S = 0, \quad i=1,2,3.
$$
故一次项对 $T(R)$ 的贡献为零。
公式：\frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} x_i \, \mathrm{d}S = 0
提示：对称性是简化球面积分的重要工具，注意奇函数在对称区域积分为零。
步骤 4/5
目标：计算二次项在球面上的平均值
对于二次项 $x_i x_j$，当 $i \neq j$ 时，由对称性积分也为零。当 $i = j$ 时，例如 $x_1^2$，由球对称性有：
$$
\iint_{\Sigma} x_1^2 \, \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} x_2^2 \, \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} x_3^2 \, \mathrm{d}S.
$$
又因为 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = R^2$，所以每个的积分等于：
$$
\frac{1}{3} \iint_{\Sigma} R^2 \, \mathrm{d}S = \frac{1}{3} R^2 \cdot 4\pi R^2 = \frac{4\pi}{3} R^4.
$$
于是：
$$
\frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} x_i^2 \, \mathrm{d}S = \frac{1}{4\pi R^2} \cdot \frac{4\pi}{3} R^4 = \frac{R^2}{3}.
$$
公式：\frac{1}{4\pi R^2} \iint_{\Sigma} x_i^2 \, \mathrm{d}S = \frac{R^2}{3}
提示：利用 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$ 和对称性简化计算，避免直接积分。
步骤 5/5
目标：综合得到极限表达式
将泰勒展开代入 $T(R)$ 的定义，利用一次项为零和二次项的结果，并忽略混合偏导项（因 $i \neq j$ 时积分为零），得到：
$$
T(R) = u(0) + \frac12 \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}(0) \cdot \frac{R^2}{3} + o(R^2) = u(0) + \frac{R^2}{6} \Delta u(0) + o(R^2).
$$
因此：
$$
\lim_{R \to 0^+} \frac{T(R) - u(0)}{R^2} = \frac{1}{6} \Delta u(0).
$$
平移回原坐标，即得 $\lim_{R \to 0^+} \frac{T(R) - u(x_0,y_0,z_0)}{R^2} = \frac{1}{6} \Delta u(x_0,y_0,z_0)$。
公式：\lim_{R \to 0^+} \frac{T(R) - u(x_0,y_0,z_0)}{R^2} = \frac{1}{6} \Delta u(x_0,y_0,z_0)
提示：注意余项 $o(R^2)$ 除以 $R^2$ 后趋于零，这是极限成立的关键。
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