山东大学 2025年数学分析第0题

考虑导数定义： \[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}. \] 令 \( t = \frac{1}{x^2} \)，当 \( x \to 0 \) 时，\( t \to +\infty \)，于是 \[ \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x} = \frac{e^{-t}}{\pm \frac{1}{\sqrt{t}}} = \pm \sqrt{t} \, e^{-t}. \] 由于 \(\lim_{t\to +\infty} \sqrt{t} e^{-t} = 0\)，所以极限为0，因此 \( f'(0) = 0 \)。

假设对于某个 \( n \ge 1 \)，有 \( f^{(n)}(0) = 0 \)，且当 \( x \neq 0 \) 时，\( f^{(n)}(x) \) 可以表示为 \[ f^{(n)}(x) = P_n\left(\frac{1}{x}\right) e^{-\frac{1}{x^2}}, \] 其中 \( P_n \) 是某个多项式。当 \( n=1 \) 时，对 \( x \neq 0 \) 求导得 \[ f'(x) = \frac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x^2}}, \] 符合形式（多项式为 \( 2u^3 \)，其中 \( u=1/x \)）。

对 \( x \neq 0 \) 再求一次导： \[ f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx}\left[ P_n\left(\frac{1}{x}\right) e^{-\frac{1}{x^2}} \right]. \] 记 \( u = 1/x \)，则 \( \frac{d}{dx} = -u^2 \frac{d}{du} \)，于是 \[ f^{(n+1)}(x) = -u^2 \left[ P_n'(u) e^{-u^2} + P_n(u)(-2u) e^{-u^2} \right] = \left[ -u^2 P_n'(u) + 2u^3 P_n(u) \right] e^{-u^2}. \] 括号内仍是 \( u \) 的多项式，因此形式保持。

用导数定义： \[ f^{(n+1)}(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{P_n(1/x) e^{-1/x^2}}{x}. \] 令 \( t = 1/x^2 \)，则 \( 1/x = \pm \sqrt{t} \)，于是分子是多项式乘以 \( e^{-t} \)，分母是 \( \pm 1/\sqrt{t} \)，整体形如 \[ \text{多项式}(\sqrt{t}) \cdot e^{-t} \cdot \sqrt{t}. \] 由于指数衰减远快于任何多项式增长，极限为0。因此 \( f^{(n+1)}(0)=0 \)。

由第一步得到 \( f'(0)=0 \) 且形式成立，再由递推证明，对所有正整数 \( n \)，有 \( f^{(n)}(0)=0 \)，且 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处任意阶可导。