山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、设 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上可导，导函数 $f^{\prime}(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界且一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明函数在(0,1)上有界
已知导函数 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界，即存在常数 $M>0$，使得对任意 $x \in (0,1)$，有 $|f'(x)| \le M$。任取一点 $x_0 \in (0,1)$，例如 $x_0 = \frac{1}{2}$。对任意 $x \in (0,1)$，由拉格朗日中值定理，存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0)$。于是 $|f(x) - f(x_0)| \le M|x - x_0|$。由于 $x, x_0 \in (0,1)$，有 $|x - x_0| < 1$，因此 $|f(x)| \le |f(x_0)| + M$。这说明 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有界。
公式：|f(x) - f(x_0)| = |f'(\xi)(x - x_0)| \le M|x - x_0|
提示：注意拉格朗日中值定理的应用条件：函数在闭区间上连续、开区间内可导。这里虽然区间是开区间，但任意两点间的闭区间仍满足条件。
步骤 2/3
目标：证明函数在(0,1)上一致连续
要证明：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $x, y \in (0,1)$ 且 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。对任意两点 $x, y \in (0,1)$，由拉格朗日中值定理，存在介于它们之间的 $\xi$，使得 $|f(x) - f(y)| = |f'(\xi)| \cdot |x - y| \le M|x - y|$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$，则当 $|x - y| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(y)| \le M|x - y| < M \cdot \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$。由于 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$ 和全局常数 $M$，与 $x, y$ 的具体位置无关，因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：|f(x) - f(y)| \le M|x - y|, \quad \delta = \frac{\varepsilon}{M}
提示：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不能依赖于 $x$ 或 $y$。这里利用导函数有界得到的 Lipschitz 条件保证了这一点。
步骤 3/3
目标：总结结论
通过以上两步，我们证明了：在题设条件下，函数 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上既有界，又一致连续。有界性由中值定理和导函数有界直接推出；一致连续性由导函数有界推出的 Lipschitz 条件直接得到。
公式：无
提示：注意：开区间上的有界性和一致连续性不能直接由可导性推出，必须依赖导函数有界这一关键条件。
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