山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、设 $f(x, y)=\varphi(|x y|)$ ，且在 $u=0$ 的附近满足：$|\varphi(u)| \leq u^{2}$ 。证明： $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出可微的定义，明确证明目标
函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微，意味着存在常数 $A, B$，使得当 $(x, y) \to (0,0)$ 时，有
\[ f(x, y) - f(0,0) - A x - B y = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right). \]
通常取 $A = f_x(0,0)$，$B = f_y(0,0)$。因此，先求偏导数，再验证余项为高阶无穷小。
公式：f(x, y) - f(0,0) - A x - B y = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)
提示：注意可微定义中线性部分由偏导数确定，但需先验证偏导数存在。
步骤 2/5
目标：计算原点处的函数值和偏导数
由 $f(x,y) = \varphi(|xy|)$，且条件 $|\varphi(u)| \le u^2$，令 $u=0$ 得 $|\varphi(0)| \le 0$，故 $\varphi(0)=0$，从而 $f(0,0)=0$。
计算偏导数：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi(0)}{h} = 0, \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h} = 0. \]
因此 $A = B = 0$，只需证明 $f(x,y) = o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$。
公式：f_x(0,0) = 0, \quad f_y(0,0) = 0
提示：利用条件先确定 $\varphi(0)=0$ 是关键，否则偏导可能不存在。
步骤 3/5
目标：利用条件估计差值的绝对值
由条件 $|\varphi(u)| \le u^2$，代入 $u = |xy|$ 得
\[ |f(x,y) - f(0,0) - 0\cdot x - 0\cdot y| = |\varphi(|xy|)| \le (|xy|)^2 = x^2 y^2. \]
因此，差值的绝对值被 $x^2 y^2$ 控制。
公式：|f(x,y)| \le x^2 y^2
提示：注意 $|xy|^2 = x^2 y^2$，不要写错为 $x^2 y^2$ 的平方。
步骤 4/5
目标：比较阶数，证明余项为高阶无穷小
利用均值不等式 $2|xy| \le x^2 + y^2$，平方得 $4x^2 y^2 \le (x^2 + y^2)^2$，即
\[ x^2 y^2 \le \frac{(x^2 + y^2)^2}{4}. \]
于是
\[ \frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2 + y^2}} \le \frac{(x^2 + y^2)^2 / 4}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{1}{4} (x^2 + y^2)^{3/2}. \]
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，右边趋于 $0$，故
\[ f(x,y) = o\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right). \]
公式：\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}} \le \frac{1}{4} (x^2+y^2)^{3/2} \to 0
提示：注意 $\sqrt{x^2+y^2}$ 是 $1$ 阶，$x^2 y^2$ 是 $4$ 阶，但需通过不等式转化为 $(x^2+y^2)^2$ 再比较。
步骤 5/5
目标：得出结论
由可微定义，存在常数 $A=0, B=0$ 使得
\[ f(x,y) - f(0,0) - A x - B y = o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), \]
因此 $f(x,y)$ 在原点 $(0,0)$ 处可微，且全微分为 $df(0,0)=0$。
公式：df(0,0) = 0
提示：可微性得证后，全微分即为线性部分 $0$。
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