山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、设非负连续函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，证明：
$$
F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t
$$
在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆凸函数的判定条件
对于可导函数，凸性等价于其二阶导数非负。因此，我们尝试求 $F(x)$ 的一阶和二阶导数。
公式：F''(x) \ge 0 \Rightarrow F(x) \text{ 是凸函数}
提示：注意：这里假设 $f(x)$ 连续，因此 $F(x)$ 可导，且 $f'(x)$ 几乎处处存在。
步骤 2/5
目标：求一阶导数 $F'(x)$
将 $F(x) = \int_0^x (x-2t)f(t)\,dt$ 拆分为 $x\int_0^x f(t)\,dt - 2\int_0^x t f(t)\,dt$，然后利用莱布尼茨法则和乘积求导法则：
$$F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt + x f(x) - 2x f(x) = \int_0^x f(t)\,dt - x f(x).$$
公式：F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt - x f(x)
提示：注意对 $x\int_0^x f(t)\,dt$ 求导时，要用乘积法则：导数为 $\int_0^x f(t)\,dt + x f(x)$。
步骤 3/5
目标：求二阶导数 $F''(x)$
对 $F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt - x f(x)$ 求导：
$$F''(x) = f(x) - [f(x) + x f'(x)] = -x f'(x).$$
公式：F''(x) = -x f'(x)
提示：对 $x f(x)$ 求导时，结果为 $f(x) + x f'(x)$，不要遗漏项。
步骤 4/5
目标：利用已知条件判断 $F''(x)$ 的符号
由题设，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，故 $f'(x) \le 0$（在可导点处）。因此对于 $x \ge 0$，有 $-x f'(x) \ge 0$，即 $F''(x) \ge 0$。
公式：f'(x) \le 0 \Rightarrow -x f'(x) \ge 0 \quad (x \ge 0)
提示：注意 $x \ge 0$ 且 $f'(x) \le 0$，负负得正。若 $f$ 在个别点不可导，不影响整体凸性。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $F''(x) \ge 0$ 对所有 $x \ge 0$ 成立，因此 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数。
公式：F''(x) \ge 0 \Rightarrow F(x) \text{ 凸}
提示：凸函数的定义也可用二阶导数非负来判定，这里已满足条件。
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