山东大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、证明题．（每题 15 分，共 45 分）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且对任意 \( x \in [a,b] \) 有 \( f(x) > 0 \)。这是应用闭区间上连续函数性质的前提条件。
提示：注意闭区间和连续性是关键，开区间不满足最值定理。
步骤 2/5
目标：应用最值定理
根据闭区间上连续函数的最值定理，\( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上必能取到最大值和最小值。因此存在 \( x_1, x_2 \in [a,b] \)，使得 \( f(x_1) = \min_{x \in [a,b]} f(x) \)，\( f(x_2) = \max_{x \in [a,b]} f(x) \)。
公式：\exists x_1, x_2 \in [a,b], \; f(x_1) = \min_{x \in [a,b]} f(x), \; f(x_2) = \max_{x \in [a,b]} f(x)
提示：最值定理只适用于闭区间上的连续函数，不可忽略条件。
步骤 3/5
目标：证明最小值大于零
由于对任意 \( x \in [a,b] \) 都有 \( f(x) > 0 \)，特别地，最小值 \( f(x_1) \) 也满足 \( f(x_1) > 0 \)。令 \( m = f(x_1) \)，则 \( m > 0 \)。
公式：m = f(x_1) > 0
提示：最小值是函数值中的最小者，若所有函数值都大于0，则最小值必然大于0。
步骤 4/5
目标：推导结论
由最小值的定义，对任意 \( x \in [a,b] \)，有 \( f(x) \ge f(x_1) = m \)。因此存在正数 \( m \)，使得 \( f(x) \ge m \) 对所有 \( x \in [a,b] \) 成立。
公式：\forall x \in [a,b], \; f(x) \ge m > 0
提示：注意结论中的 \( m \) 是具体存在的正数，即函数的最小值。
步骤 5/5
目标：总结证明
由闭区间上连续函数的最值定理，最小值存在且大于零，取该最小值为 \( m \)，即得所需结论。证毕。
提示：证明的关键步骤是应用最值定理和利用恒正条件推出最小值大于零。
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