山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1、 $\forall \varepsilon>0$ ，若 $f(x)$ 在 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目条件与结论
题目给出：对于任意 $\varepsilon>0$，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上一致连续。要判断是否推出 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上一致连续。一致连续的定义是：对任意 $\eta>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x_1,x_2$ 属于该区间且 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\eta$。
公式：一致连续定义：$\forall \eta>0,\exists \delta>0,\forall x_1,x_2\in I,|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\eta$
提示：注意一致连续要求 $\delta$ 在整个区间上统一，不依赖于点的位置。
步骤 2/4
目标：分析已知条件的覆盖范围
已知条件只保证了在任意去掉端点附近宽度为 $\varepsilon$ 的闭子区间上一致连续。但开区间 $(a,b)$ 包含端点附近任意接近 $a$ 和 $b$ 的点，这些点可能不在同一个 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 中，因此条件并未直接给出端点附近的一致连续性。
公式：区间覆盖：$(a,b)=\bigcup_{\varepsilon>0}[a+\varepsilon,b-\varepsilon]$
提示：开区间是无穷多个闭子区间的并集，但一致连续性不能由局部一致连续直接推出整体一致连续。
步骤 3/4
目标：尝试构造反例
考虑函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在开区间 $(0,1)$ 上。对于任意 $\varepsilon>0$，闭区间 $[\varepsilon,1-\varepsilon]$ 是 $[0,1]$ 的闭子区间，$f(x)$ 在其上连续，从而一致连续。但在整个 $(0,1)$ 上，取 $x_1=\frac{1}{n}$，$x_2=\frac{1}{2n}$，则 $|x_1-x_2|=\frac{1}{2n}\to 0$，但 $|f(x_1)-f(x_2)|=n\to\infty$，因此不存在统一的 $\delta$，故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。
公式：反例：$f(x)=\frac{1}{x}$，$x_1=\frac{1}{n}$，$x_2=\frac{1}{2n}$，$|f(x_1)-f(x_2)|=n$
提示：注意端点附近函数值变化剧烈是导致不一致连续的关键。
步骤 4/4
目标：得出结论
上述反例表明，题设条件成立，但结论不成立。因此命题是错误的。
提示：不能将闭区间上的一致连续性直接推广到开区间。
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