山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2、函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, u]$ 可积 且 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知函数 $f(x)$ 在任意有限区间 $[a, u]$ 上可积（$u > a$），且无穷限积分 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 收敛。需要证明 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 也收敛。
公式：\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx \text{ 收敛}
提示：注意“可积”通常指黎曼可积，且收敛是指极限存在且有限。
步骤 2/6
目标：回顾无穷积分收敛的定义
无穷积分 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛当且仅当极限 $\lim_{b \to +\infty} \int_a^b g(x) \, dx$ 存在且有限。
公式：\lim_{b \to +\infty} \int_a^b g(x) \, dx \text{ 存在有限}
提示：这是判断收敛性的基本定义。
步骤 3/6
目标：应用柯西收敛准则
无穷积分收敛的柯西准则：$\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > a$，使得对任意 $b_2 > b_1 > X$，有 $\left| \int_{b_1}^{b_2} g(x) \, dx \right| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists X > a, \forall b_2 > b_1 > X: \left| \int_{b_1}^{b_2} g(x) \, dx \right| < \varepsilon
提示：柯西准则避免了直接求极限，常用于证明收敛性。
步骤 4/6
目标：利用已知的绝对收敛性
因为 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 收敛，由柯西准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > a$，使得对任意 $b_2 > b_1 > X$，有 $\int_{b_1}^{b_2} |f(x)| \, dx < \varepsilon$。
公式：\int_{b_1}^{b_2} |f(x)| \, dx < \varepsilon
提示：这里直接应用柯西准则于 $|f(x)|$ 的积分。
步骤 5/6
目标：将不等式过渡到 $f(x)$ 本身
对任意 $b_2 > b_1 > X$，由绝对值不等式：$\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x) \, dx \right| \leq \int_{b_1}^{b_2} |f(x)| \, dx < \varepsilon$。
公式：\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x) \, dx \right| \leq \int_{b_1}^{b_2} |f(x)| \, dx
提示：这是积分绝对值不等式，注意方向。
步骤 6/6
目标：得出结论
由柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > a$，使得对任意 $b_2 > b_1 > X$，有 $\left| \int_{b_1}^{b_2} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$，因此 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。
公式：\int_a^{+\infty} f(x) \, dx \text{ 收敛}
提示：绝对收敛蕴含原积分收敛，这是标准结论。
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