山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3、 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和要判断的结论
已知函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处两个偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在且相等。要判断的结论是：$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。
提示：注意区分一元函数与多元函数的性质差异。
步骤 2/6
目标：回忆偏导数存在与连续的关系
在一元函数中，可导必连续。但在多元函数中，偏导数存在只保证沿坐标轴方向的变化率存在，不能保证沿其他路径趋近时函数值趋于该点函数值，因此偏导数存在不能推出连续。
提示：多元函数的连续性需要考察所有路径，而偏导数只考虑两个特殊方向。
步骤 3/6
目标：构造反例函数
考虑函数：
\[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
该函数在原点处有定义。
公式：f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2} \quad ((x,y)\neq(0,0))
提示：选择分母为 $x^2+y^2$ 的齐次有理函数是构造反例的常见手法。
步骤 4/6
目标：计算偏导数，验证条件
计算在 $(0,0)$ 处的偏导数：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h} = 0 \]
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0-0}{k} = 0 \]
因此两个偏导数都存在且相等（均为0）。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：沿坐标轴代入时，分子恒为0，计算简单。
步骤 5/6
目标：检验连续性
考虑沿直线 $y=x$ 趋近原点：
\[ \lim_{t \to 0} f(t,t) = \lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t^2+t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2t^2} = \frac{1}{2} \]
而 $f(0,0)=0$，极限值不等于函数值，因此函数在原点不连续。
公式：\lim_{t\to 0} f(t,t) = \frac{1}{2} \neq 0 = f(0,0)
提示：沿不同路径趋近时极限不同，说明极限不存在，从而不连续。
步骤 6/6
目标：得出结论
该反例表明，即使偏导数存在且相等，也不能保证函数在该点连续。因此原命题错误。
提示：记住：偏导数存在且相等只是连续的必要条件之一，但非充分。
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