山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二、（10 分）求 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y$ ，区域 $\displaystyle D:|x| \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．
1、 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续．
2、函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, u]$ 可积 且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．
3、 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数，划分积分区域
被积函数含有绝对值 $\sqrt{|y-x^2|}$，因此需要根据 $y-x^2$ 的正负将区域 $D$ 分成两部分。曲线 $y=x^2$ 将矩形 $D: |x| \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ 分为：
- $D_1: |x| \leq 1, x^2 \leq y \leq 1$，此时 $|y-x^2| = y-x^2$；
- $D_2: |x| \leq 1, 0 \leq y \leq x^2$，此时 $|y-x^2| = x^2-y$。
原积分化为：
$$I = \iint_{D_1} \sqrt{y-x^2} \, dy\,dx + \iint_{D_2} \sqrt{x^2-y} \, dy\,dx.$$
公式：$$I = \iint_{D_1} \sqrt{y-x^2} \, dy\,dx + \iint_{D_2} \sqrt{x^2-y} \, dy\,dx$$
提示：注意绝对值处理时，要确保每个子区域内的表达式非负，以便去掉绝对值符号。
步骤 2/5
目标：计算第一部分积分 $I_1$ 的内层积分
对于固定的 $x$，$y$ 从 $x^2$ 到 $1$，令 $t = y - x^2$，则 $t$ 从 $0$ 到 $1-x^2$，$dy = dt$。内层积分为：
$$\int_{y=x^2}^{1} \sqrt{y-x^2} \, dy = \int_{0}^{1-x^2} \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} (1-x^2)^{3/2}.$$
公式：$$\int_{x^2}^{1} \sqrt{y-x^2} \, dy = \frac{2}{3} (1-x^2)^{3/2}$$
提示：换元时注意积分限的变化，$t$ 的下限对应 $y=x^2$ 时 $t=0$。
步骤 3/5
目标：计算第一部分积分 $I_1$ 的外层积分
将内层积分结果代入，得：
$$I_1 = \int_{-1}^{1} \frac{2}{3} (1-x^2)^{3/2} \, dx.$$
由于被积函数是偶函数，化简为：
$$I_1 = \frac{4}{3} \int_{0}^{1} (1-x^2)^{3/2} \, dx.$$
令 $x = \sin\theta$，则 $dx = \cos\theta \, d\theta$，$x=0$ 时 $\theta=0$，$x=1$ 时 $\theta=\pi/2$，$(1-x^2)^{3/2} = \cos^3\theta$，于是：
$$\int_{0}^{1} (1-x^2)^{3/2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta.$$
利用公式 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2n}\theta \, d\theta = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2}$，取 $n=2$ 得：
$$\int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}.$$
因此：
$$I_1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{\pi}{4}.$$
公式：$$I_1 = \frac{\pi}{4}$$
提示：使用三角换元时，注意 $\cos^4\theta$ 的积分公式，或使用倍角公式降幂计算。
步骤 4/5
目标：计算第二部分积分 $I_2$
对于固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $x^2$，令 $t = x^2 - y$，则 $t$ 从 $x^2$ 到 $0$，$dy = -dt$，内层积分为：
$$\int_{0}^{x^2} \sqrt{x^2-y} \, dy = \int_{x^2}^{0} \sqrt{t} \, (-dt) = \int_{0}^{x^2} \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} (x^2)^{3/2} = \frac{2}{3} |x|^3.$$
外层积分：
$$I_2 = \int_{-1}^{1} \frac{2}{3} |x|^3 \, dx.$$
由于 $|x|^3$ 是偶函数，得：
$$I_2 = \frac{4}{3} \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}.$$
公式：$$I_2 = \frac{1}{3}$$
提示：注意 $\sqrt{(x^2)^{3}} = |x|^3$，因为 $x$ 可为负，需加绝对值。
步骤 5/5
目标：合并两部分，得到最终结果
将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加：
$$I = I_1 + I_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3}.$$
因此，所求二重积分的值为 $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{3}$。
公式：$$\iint_{D} \sqrt{|y-x^2|} \, dx\,dy = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{3}$$
提示：最终结果需化简为最简形式，无需通分。
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