山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
已知：
1. $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微；
2. 对任意 $x \ge 0$，有 $0 \le f'(x) \le f(x)$；
3. $f(0)=0$。
要证明：对所有 $x \ge 0$，$f(x)=0$。
提示：注意条件中导数非负且不超过函数值本身。
步骤 2/5
目标：由导数非负得到函数单调性
由于 $f'(x) \ge 0$，所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减。又 $f(0)=0$，故对任意 $x \ge 0$，有 $f(x) \ge f(0)=0$，即函数值非负。
公式：f(x) \ge 0
提示：单调不减性由导数非负直接推出，注意定义域。
步骤 3/5
目标：构造辅助函数并求导
令 $g(x)=e^{-x}f(x)$，则 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可微，且
\[ g'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}\big(f'(x)-f(x)\big). \]
由条件 $f'(x) \le f(x)$ 得 $f'(x)-f(x) \le 0$，故 $g'(x) \le 0$，即 $g(x)$ 单调不增。
公式：g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)) \le 0
提示：辅助函数的选择是关键，利用指数函数将微分不等式转化为导数符号。
步骤 4/5
目标：利用初始条件和单调性推出矛盾
由 $f(0)=0$ 得 $g(0)=e^0 \cdot 0 = 0$。因为 $g(x)$ 单调不增，所以对任意 $x \ge 0$，有 $g(x) \le g(0)=0$。
另一方面，$f(x) \ge 0$ 且 $e^{-x}>0$，故 $g(x)=e^{-x}f(x) \ge 0$。
于是 $0 \le g(x) \le 0$，从而 $g(x) \equiv 0$，即 $e^{-x}f(x) \equiv 0$，所以 $f(x) \equiv 0$。
公式：0 \le g(x) \le 0 \Rightarrow g(x) \equiv 0 \Rightarrow f(x) \equiv 0
提示：注意两边夹逼得到恒等，不要忽略非负性条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，在 $[0,+\infty)$ 上，$f(x) \equiv 0$，证毕。
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