山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}0, \quad x=0 \\ \frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], x \in(0,1]\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解函数定义与性质
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为 $0$，在 $(0,1]$ 上定义为 $f(x)=\frac{1}{x} - \left[\frac{1}{x}\right]$，其中 $[\cdot]$ 表示向下取整。该函数表示 $1/x$ 的小数部分，值域为 $[0,1)$，因此在 $[0,1]$ 上有界。
公式：f(x)=\begin{cases} 0, & x=0 \\ \frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right], & x\in(0,1] \end{cases}
提示：注意 $[\cdot]$ 是取整函数，$f(x)$ 的值始终在 $[0,1)$ 内，这是有界性的关键。
步骤 2/5
目标：分析间断点
当 $1/x$ 为整数时，即 $x=1/n$（$n\in\mathbb{N}^+$），$f(x)=0$，但在这些点附近函数值会从接近 $1$ 跳变到 $0$ 或反之，因此 $x=1/n$ 是跳跃间断点。此外，当 $x\to 0^+$ 时，$1/x$ 的小数部分在 $[0,1)$ 内振荡，不趋于任何值，故 $x=0$ 也是间断点（振荡间断点）。在 $(0,1]$ 上除这些点外，函数连续。
公式：\text{间断点集：}\{0, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\}
提示：间断点集是可数无穷集，每个点都是孤立点（除 $0$ 外），这为后续测度分析提供基础。
步骤 3/5
目标：应用黎曼可积的勒贝格判据
黎曼可积的勒贝格判据指出：闭区间上的有界函数黎曼可积当且仅当其间断点集是零测集。这里 $f$ 在 $[0,1]$ 上有界，间断点集为 $\{0, 1, 1/2, 1/3, \ldots\}$，这是一个可数集，而可数集的勒贝格测度为 $0$。因此，由判据知 $f$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积。
公式：\text{间断点集测度：} m(\{0,1,1/2,\ldots\})=0
提示：勒贝格判据是判断黎曼可积的常用工具，注意需要验证函数有界且间断点集测度为0。
步骤 4/5
目标：构造达布和进行直接证明（可选严谨步骤）
为更严谨，可构造达布上和与下和。对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon/2$，在 $[0,\delta]$ 上函数振幅 $\leq 1$，该部分对达布和差的贡献 $\leq \delta = \varepsilon/2$。在 $[\delta,1]$ 上，间断点仅有有限个 $1/n \geq \delta$，可用总长度小于 $\varepsilon/2$ 的小区间覆盖它们，其余部分函数连续，从而可积。两部分合并，总差 $<\varepsilon$。
公式：\text{达布和差：} U(P,f)-L(P,f) \leq \delta + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon
提示：直接构造需注意 $[0,\delta]$ 上振幅为1，而有限个间断点可用小区间包住，这是经典处理方法。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合以上分析，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界，且间断点集为零测集，由黎曼可积的勒贝格判据（或达布和构造）可知，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积。
公式：\text{结论：} f\in R[0,1]
提示：最终结论需明确是黎曼可积，并指出依据。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。