山西师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} f\left(\frac{1}{x}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定已知条件
已知极限 \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f\left(\frac{1}{x}\right) = L\) 存在。根据 \(\varepsilon-\delta\) 定义，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta_1 > 0\)，使得当 \(0 < |x - 1| < \delta_1\) 时，有 \(\left| f\left(\frac{1}{x}\right) - L \right| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta_1 > 0, \forall x: 0 < |x-1| < \delta_1 \Rightarrow \left| f\left(\frac{1}{x}\right) - L \right| < \varepsilon
提示：注意已知极限的自变量是 \(1/x\)，不是 \(x\)，需要区分变量。
步骤 2/6
目标：明确要证明的目标
要证明 \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = L\)，即对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - 1| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - L| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x: 0 < |x-1| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon
提示：目标中的自变量是 \(x\)，与已知条件不同，需要通过变量替换建立联系。
步骤 3/6
目标：建立变量替换关系
令 \(t = \frac{1}{x}\)，则 \(x = \frac{1}{t}\)。当 \(x \to 1\) 时，\(t \to 1\)。已知条件变为：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta_1 > 0\)，使得当 \(0 < |t - 1| < \delta_1\) 时，有 \(|f(1/t) - L| < \varepsilon\)。而 \(f(1/t) = f(x)\)，所以已知条件等价于：当 \(0 < |t - 1| < \delta_1\) 时，\(|f(x) - L| < \varepsilon\)，其中 \(x = 1/t\)。
公式：t = \frac{1}{x}, \quad x = \frac{1}{t}, \quad f\left(\frac{1}{t}\right) = f(x)
提示：替换后注意定义域：\(x \neq 0\)，但 \(x \to 1\) 时自动满足。
步骤 4/6
目标：将 t 的条件转化为 x 的条件
由 \(t = 1/x\)，有 \(|t - 1| = \left|\frac{1}{x} - 1\right| = \frac{|1 - x|}{|x|}\)。当 \(x\) 接近 1 时，\(|x|\) 接近 1。先限制 \(|x - 1| < \frac{1}{2}\)，则 \(x \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})\)，从而 \(|x| > \frac{1}{2}\)，于是 \(|t - 1| = \frac{|x - 1|}{|x|} < \frac{|x - 1|}{1/2} = 2|x - 1|\)。因此，若要求 \(|t - 1| < \delta_1\)，只需 \(2|x - 1| < \delta_1\)，即 \(|x - 1| < \delta_1/2\)，并同时保证 \(|x - 1| < 1/2\)。
公式：|t-1| = \frac{|x-1|}{|x|} < 2|x-1| \quad (\text{当 } |x-1| < \frac{1}{2})
提示：分母 \(|x|\) 的下界估计是关键，需要先取一个初步范围确保 \(|x|\) 不接近 0。
步骤 5/6
目标：选取 δ 并完成证明
对任意 \(\varepsilon > 0\)，由已知存在 \(\delta_1 > 0\)，使得当 \(0 < |t - 1| < \delta_1\) 时，\(|f(1/t) - L| < \varepsilon\)。取 \(\delta = \min\left\{\frac{1}{2}, \frac{\delta_1}{2}\right\}\)。则当 \(0 < |x - 1| < \delta\) 时，有 \(|x - 1| < \frac{1}{2}\) 且 \(|x - 1| < \frac{\delta_1}{2}\)，于是 \(|t - 1| = \frac{|x - 1|}{|x|} < 2|x - 1| < \delta_1\)，且由于 \(x \neq 1\)，\(t \neq 1\)，满足 \(0 < |t - 1|\)，从而 \(|f(x) - L| = |f(1/t) - L| < \varepsilon\)。
公式：\delta = \min\left\{\frac{1}{2}, \frac{\delta_1}{2}\right\}
提示：取 \(\delta\) 时要同时满足两个条件：保证 \(|x|\) 有下界，以及 \(|x-1|\) 足够小。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |x - 1| < \delta\) 时，\(|f(x) - L| < \varepsilon\)，即 \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = L\)。而 \(L = \displaystyle \lim_{x \to 1} f\left(\frac{1}{x}\right)\)，故 \(\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} f\left(\frac{1}{x}\right)\)。
公式：\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} f\left(\frac{1}{x}\right)
提示：证明的关键是利用变量替换和不等式放缩，将已知条件中的邻域映射到目标邻域。
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